Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
Le domaine du produit scalaire et de l’orthogonalité dans l’espace porte sur les calculs de normes, d’angles, de distances et de projections. Il relie directement les coordonnées, les équations de plans et les vecteurs normaux. La maîtrise des formules permet de traiter rapidement les questions d’orthogonalité et de distance.
Règles et concepts essentiels
- Pour u(x,y,z) et v(x’,y’,z’), le produit scalaire vaut u·v=xx’+yy’+zz’. Il est nul si et seulement si u et v sont orthogonaux, lorsque les deux vecteurs sont non nuls.
- La norme de u est ||u||=racine carrée de u·u, soit racine de x^2+y^2+z^2. La distance entre deux points A et B est la norme du vecteur AB.
- Un plan d’équation ax+by+cz+d=0 a pour vecteur normal n(a,b,c). Une droite de vecteur directeur u est orthogonale au plan si u et n sont colinéaires.
- La distance d’un point M(x_0,y_0,z_0) au plan ax+by+cz+d=0 est |ax_0+by_0+cz_0+d| divisé par racine de a^2+b^2+c^2.
- Le projeté orthogonal H d’un point M sur un plan P est l’intersection de P avec la droite passant par M et de vecteur directeur normal à P. La distance MH est la distance de M à P.
- Pour calculer un angle, on utilise cos(theta)=(u·v)/(||u|| ||v||), puis on vérifie le quadrant géométrique.
Exemple rédigé
Calculer la distance de l’origine O(0,0,0) au plan P d’équation 2x-y+2z-3=0. Le vecteur normal est n(2,-1,2). Sa norme vaut racine de 4+1+4, soit 3. En remplaçant O dans le membre de gauche, on obtient 2 fois 0 moins 0 plus 2 fois 0 moins 3, soit -3. La valeur absolue vaut 3. La distance est donc 3/3=1. Géométriquement, le point le plus proche de O sur P est le projeté orthogonal de O, et la distance minimale vaut bien 1.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier la valeur absolue dans la formule de distance à un plan.
- Utiliser le vecteur normal à la place d’un vecteur directeur, ou inversement.
- Calculer une norme en oubliant d’élever les trois coordonnées au carré.
- Écrire que u·v=0 sans vérifier que les vecteurs sont non nuls.
- Confondre distance d’un point à un plan et distance d’un point à une droite.