Probabilités : conditionnement, indépendance et variables aléatoires
Le domaine conditionnement, indépendance et variables aléatoires évalue la capacité à modéliser une expérience, lire un arbre pondéré, calculer une probabilité conditionnelle et étudier une variable aléatoire discrète. Les questions combinent souvent probabilités totales, indépendance et calcul d’espérance.
Règles et concepts essentiels
- La probabilité conditionnelle de A sachant B est P(A|B)=P(A inter B)/P(B), avec P(B)>0.
- Formule des probabilités totales : si B et son complément forment une partition, P(A)=P(B)P(A|B)+P(B barre)P(A|B barre). On généralise à une partition finie.
- Deux événements A et B sont indépendants si P(A inter B)=P(A)P(B), ce qui équivaut, lorsque les probabilités sont non nulles, à P(A|B)=P(A).
- Une variable aléatoire discrète X prend des valeurs x_i avec des probabilités p_i. Son espérance est la somme des x_i p_i. Sa variance est la somme des (x_i-E(X))^2 p_i, ou E(X^2)-(E(X))^2.
- L’espérance est linéaire : E(aX+b)=aE(X)+b. La variance vérifie V(aX+b)=a^2V(X).
- Dans un arbre, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches ; la probabilité d’un événement est la somme des chemins favorables.
Exemple rédigé
Une usine produit deux types de pièces. On note A l’événement « la pièce vient de la ligne A », avec P(A)=0,4. La probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant qu’elle vient de A est 0,3 ; sachant qu’elle vient de l’autre ligne, elle est 0,5. Soit B l’événement « la pièce est défectueuse ». Par probabilités totales, P(B)=0,4 fois 0,3+0,6 fois 0,5=0,12+0,30=0,42. On cherche P(A|B). La formule donne P(A|B)=P(A inter B)/P(B)=0,12/0,42=2/7, soit environ 0,286. La pièce défectueuse provient donc de la ligne A dans environ 28,6 % des cas.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre P(A|B) et P(B|A), qui ne sont pas égaux en général.
- Utiliser P(A inter B)=P(A)P(B) sans avoir justifié l’indépendance.
- Oublier de pondérer les branches dans un arbre par la probabilité du premier événement.
- Calculer une variance avec une formule de moyenne, ou oublier le carré dans V(aX+b).
- Additionner des probabilités de chemins non disjoints.