Interversion intégrale-série et équivalent asymptotique
Vous composez l’épreuve écrite de mathématiques (durée 4 h). Le problème définit, pour n ≥ 0, I_n = ∫0^1 x^n/(1+x) dx et demande un équivalent de I_n quand n → +∞. Votre brouillon contient : « Pour x ∈ [0,1[, 1/(1+x) = Σ{k=0}^∞ (-1)^k x^k, donc I_n = Σ_{k=0}^∞ (-1)^k/(n+k+1). La série est alternée et son reste après le premier terme est majoré par 1/(n+2). On a donc I_n = 1/(n+1) + O(1/(n+2)), d’où I_n ∼ 1/(n+1). » Vous avez 20 minutes pour relire cette question. Le barème précise que la justification de l’interversion et la compatibilité des ordres de grandeur sont évaluées. Vous disposez aussi de l’identité I_n + I_{n+1} = 1/(n+1), admise par l’énoncé.
1. Le raisonnement du brouillon permet-il de conclure I_n ∼ 1/(n+1) ? Identifier précisément l’erreur de nature asymptotique, sans se contenter de dire que l’interversion doit être justifiée.
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Non. Le majorant du reste, 1/(n+2), est du même ordre que le premier terme 1/(n+1). Un reste majoré par une quantité du même ordre ne permet pas d’affirmer que le premier terme domine la somme : pour conclure à un équivalent, il faudrait un reste o(1/(n+1)). La série alternée n’est pas absolument convergente et le critère spécial ne fournit qu’une majoration, pas une négligeabilité. L’erreur n’est donc pas seulement l’interversion intégrale-série : même une interversion licite ne donnerait pas I_n ∼ 1/(n+1). Le calcul correct utilise l’identité I_n + I_{n+1} = 1/(n+1) et la monotonie de (I_n).
2. Justifier proprement l’interversion ∫Σ = Σ∫ dans le calcul de I_n, en précisant le théorème utilisé et l’hypothèse qui le rend licite malgré l’absence de convergence uniforme sur [0,1].
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La série géométrique ne converge pas uniformément sur [0,1] : en x = 1, le terme général (-1)^k x^k ne tend pas vers 0. On ne peut donc pas invoquer le théorème de convergence uniforme. En revanche, les sommes partielles vérifient S_N(x) = Σ_{k=0}^N (-1)^k x^k = (1-(-x)^{N+1})/(1+x), donc |S_N(x)| ≤ 2/(1+x) ≤ 2 sur [0,1]. Pour tout n, |x^n S_N(x)| ≤ 2x^n, fonction intégrable sur [0,1]. La convergence dominée justifie alors l’interversion. Le point x = 1 est de mesure nulle et ne perturbe pas l’intégrale.
3. Déduire un équivalent de I_n et vérifier la cohérence avec le résultat annoncé par le brouillon.
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On a 0 ≤ I_{n+1} ≤ I_n car x^{n+1} ≤ x^n sur [0,1]. De I_n + I_{n+1} = 1/(n+1), on tire 2I_n ≥ 1/(n+1), donc I_n ≥ 1/[2(n+1)]. De même, I_{n-1} + I_n = 1/n avec I_{n-1} ≥ I_n donne 2I_n ≤ 1/n, donc I_n ≤ 1/(2n). En multipliant par n : n/[2(n+1)] ≤ nI_n ≤ 1/2, d’où nI_n → 1/2. Ainsi I_n ∼ 1/(2n). Le brouillon annonçait 1/n : le facteur 2 manque, ce qui confirme que la majoration du reste par 1/(n+2) était trop grossière pour conclure.