Concours Centrale-Supélec cheat sheet

Théorème des accroissements finis : si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).

Développements limités usuels en 0 : e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²) ; ln(1+x) = x - x²/2 + o(x²) ; (1+x)^α = 1 + αx + α(α-1)x²/2 + o(x²).

Intégration par parties : ∫ₐᵇ u'v = [uv]ₐᵇ - ∫ₐᵇ uv' ; choisir u' facile à intégrer et v dont la dérivée simplifie l'intégrale.

Convergence absolue implique convergence ; pour les séries à termes positifs, utiliser comparaison, équivalents et règle de d'Alembert (limite de uₙ₊₁/uₙ).

Équations différentielles linéaires : solution générale = solution homogène + solution particulière ; pour y'' + ay' + by = 0, résoudre r² + ar + b = 0 et distinguer discriminant positif, nul, négatif.

Matrices : A est diagonalisable si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples ; le théorème de Cayley-Hamilton donne χ_A(A) = 0.

Espaces euclidiens : théorème spectral - tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable en base orthonormée ; utiliser Gram-Schmidt pour orthonormaliser une base.

Probabilités : formule des probabilités totales avec système complet d'événements ; indépendance de X et Y équivaut à P(X∈A, Y∈B) = P(X∈A)P(Y∈B) pour tous boréliens A, B.

Suites et séries de fonctions : convergence normale sur I si ‖fₙ‖∞ est sommable ; elle entraîne continuité de la somme et intégration terme à terme sur un segment.

Mécanique du point : principe fondamental m·a = ΣF ; en référentiel non galiléen ajouter les forces d'inertie d'entraînement (-m·a_e) et de Coriolis (-2m·Ω×v).

Énergie mécanique : E_m = E_c + E_p ; sa conservation vaut si seules les forces conservatives travaillent ; la variation égale le travail des forces non conservatives.

Oscillateur harmonique amorti : ẍ + 2λẋ + ω₀²x = 0 ; régime pseudo-périodique si λ < ω₀, critique si λ = ω₀, apériodique si λ > ω₀.

Électrocinétique : loi des mailles et loi des nœuds ; en régime sinusoïdal utiliser les impédances complexes Z_R = R, Z_L = jLω, Z_C = 1/(jCω).

Filtres : fonction de transfert H(jω) = s/e ; gain en décibels G = 20 log|H| ; ordre du filtre = degré du dénominateur après simplification.

Thermodynamique : premier principe ΔU = W + Q ; pour un gaz parfait, U ne dépend que de T et ΔU = n·C_V·ΔT ; transformation adiabatique réversible : PV^γ = cste.

Second principe : ΔS = S_échange + S_créée avec S_créée ≥ 0 ; l'égalité caractérise une transformation réversible.

Optique géométrique : lois de Snell-Descartes n₁sin i₁ = n₂sin i₂ ; condition de réflexion totale si n₁ > n₂ et i₁ > arcsin(n₂/n₁).

Physique quantique et ondes : relation de de Broglie λ = h/p ; quantification de l'énergie de l'atome d'hydrogène Eₙ = -13,6 eV/n².

Chaîne d'information / chaîne d'énergie : acquérir, traiter, communiquer pour l'information ; alimenter, distribuer, convertir, transmettre pour l'énergie.

Schéma-bloc : la fonction de transfert en boucle fermée vaut H(p) = G(p)/(1 + G(p)·K(p)) pour un retour unitaire négatif.

Stabilité d'un système bouclé : critère du revers dans le plan de Bode, ou critère de Routh sur le polynôme caractéristique du dénominateur.

Précision statique : erreur de position nulle si le gain statique en boucle ouverte est infini (classe ≥ 1) ; erreur de trappe nulle si classe ≥ 2.

Liaisons mécaniques : une liaison pivot autorise 1 rotation, une glissière 1 translation ; le degré de liberté se déduit du torseur cinématique.

Graphe des liaisons : le degré de mobilité est m = N_c - r, où N_c est le nombre de cycles indépendants et r le rang des équations de fermeture.

Résistance des matériaux : contrainte normale σ = N/S ; loi de Hooke σ = E·ε ; flèche d'une poutre encastrée-libre sous charge ponctuelle en bout : f = FL³/(3EI).

Automatique séquentielle : un graphe d'états (GRAFCET) décrit l'évolution par transitions validées ; une transition n'est franchie que si elle est validée et si l'étape amont est active.

Actionneurs : couple d'un moteur à courant continu C = k·I ; vitesse à vide proportionnelle à la tension d'alimentation.

Équilibre acido-basique : pH d'un acide faible HA de concentration C : pH ≈ ½(pKa - log C) si la dissociation est faible.

Solution tampon : pH ≈ pKa + log([base]/[acide]) (relation d'Henderson-Hasselbalch) ; efficacité maximale au voisinage de pH = pKa.

Équilibre chimique : constante K° reliée à ΔrG° par ΔrG° = -RT ln K° ; le signe de ΔrG détermine le sens d'évolution spontanée.

Cinétique : loi de vitesse v = k[A]^α[B]^β ; ordre global = α + β ; temps de demi-réaction d'ordre 1 : t₁/₂ = ln2/k.

Loi d'Arrhenius : k = A·exp(-Ea/RT) ; une augmentation de température accroît k et donc la vitesse.

Oxydoréduction : formule de Nernst E = E° + (0,06/n)·log([Ox]/[Red]) à 25 °C ; la fem d'une pile s'écrit E = E_cathode - E_anode.

Chimie organique : addition nucléophile sur carbonyle, substitution nucléophile S_N1/S_N2 selon la classe de l'halogénure et la basicité du nucléophile.

Stéréochimie : un carbone asymétrique portant quatre substituants différents donne deux énantiomètres de configurations R et S (règles CIP).

Dosage : à l'équivalence, les quantités de matière des réactifs sont dans les proportions stœchiométriques ; le saut de pH dépend des espèces en présence.

Dissertation : l'introduction contient accroche, définition des termes du sujet, problématique et annonce du plan en trois temps.

Chaque partie s'organise en sous-parties argumentées : une idée directrice par paragraphe, un exemple littéraire ou historique précis, une phrase de bilan.

La conclusion répond explicitement à la problématique, résume les acquis du développement et peut ouvrir sur une question connexe sans introduire d'argument nouveau.

Résumé : respecter le nombre de mots imposé (±10 %), reformuler sans citations, conserver l'ordre des idées et le système d'énonciation de l'auteur.

Contraction de texte : indiquer le nombre de mots employés, utiliser la troisième personne et le présent, supprimer exemples et redondances au profit de la thèse.

Transition entre parties : reformuler le bilan de la partie précédente et introduire la nouvelle direction par une question ou une nuance.

Culture générale : mobiliser des références datées et attribuées (auteur, œuvre, contexte) plutôt que des généralités non sourcées.

Essai : prendre position de façon nuancée, distinguer thèse, antithèse et dépassement, et éviter la simple juxtaposition d'exemples.

Thème : identifier la fonction grammaticale de chaque groupe avant de traduire ; les temps du récit anglais (prétérit, past perfect) ne se transposent pas mot à mot.

Version : repérer les faux amis (actually = en fait, eventually = finalement) et les tournures idiomatiques figées.

Essai en langue : structure introduction-développement-conclusion, avec connecteurs logiques (however, moreover, therefore) et exemples culturels précis.

Oral : annoncer le document (nature, source, date, thème), dégager les idées clés puis formuler un commentaire personnel structuré.

Compréhension orale : prendre des notes en abrégé, repérer les marqueurs de discours et le ton du locuteur pour restituer l'implicite.

Accent et phonologie : distinguer les voyelles longues et brèves, l'accent tonique de mot peut changer le sens (record nom/verbe).

Registre : adapter le niveau de langue à l'exercice (soutenu à l'écrit, courant à l'oral) et éviter les calques du français.

Traduction : vérifier la cohérence des temps et des reprises pronominales sur l'ensemble du passage, pas phrase par phrase.

Complexité : O(1) < O(log n) < O(n) < O(n log n) < O(n²) < O(2ⁿ) ; le tri par fusion est en O(n log n) dans tous les cas, le tri rapide en O(n²) au pire.

Récursivité : toute fonction récursive doit posséder un cas de base ; la complexité se déduit de la relation de récurrence (théorème maître).

Structures : pile (LIFO) pour les parcours en profondeur, file (FIFO) pour les parcours en largeur ; table de hachage pour l'accès en O(1) moyen.

Arbres binaires de recherche : recherche, insertion et suppression en O(h) où h est la hauteur ; un arbre équilibré garantit h = O(log n).

Représentation des entiers : complément à deux pour les entiers signés ; le débordement se produit quand le résultat sort de l'intervalle représentable.

Bases de données : une clé primaire est unique et non nulle ; une clé étrangère référence une clé primaire et garantit l'intégrité référentielle.

Algèbre de Boole : lois de De Morgan, distributivité ; toute fonction booléenne s'exprime en forme canonique disjonctive (somme de produits).

Programmation : la portée d'une variable locale est limitée au bloc ; le passage par valeur copie l'argument, le passage par référence transmet l'adresse.

Oral de mathématiques : l'exercice est souvent guidé par des questions intermédiaires ; justifier chaque étape et vérifier les hypothèses des théorèmes invoqués.

Au tableau, écrire l'énoncé du résultat utilisé avant de l'appliquer ; annoncer le plan de résolution à voix haute.

Si une piste échoue, le signaler au jury et proposer une alternative : la réactivité est évaluée autant que le résultat.

Oral de physique : commencer par un schéma et un bilan des forces ou des grandeurs, puis vérifier l'homogénéité et l'ordre de grandeur du résultat.

Questions de cours possibles : énoncer précisément les théorèmes (rôle des hypothèses) et donner un contre-exemple quand l'hypothèse manque.

Oral de langue : gérer le temps (exposé court puis entretien), reformuler la question du jury avant d'y répondre.

Entretien scientifique : relier le problème posé à des applications concrètes et reconnaître honnêtement les limites de ses connaissances.

Préparation : consacrer les premières minutes à repérer les questions clés et à rédiger un plan bref plutôt qu'une rédaction complète.