Marge de phase avec retard et échantillonnage sur un axe asservi
Épreuve de sciences industrielles de l’ingénieur (durée 4 h). Un axe de robot est modélisé par G(p) = K/[p(1+τp)], avec τ = 50 ms. La consigne est échantillonnée à T_e = 10 ms et le calculateur introduit un retard pur de 10 ms. Le cahier des charges impose une marge de phase supérieure ou égale à 45° et une pulsation de coupure à 0 dB ω_c = 20 rad/s. Un premier réglage proportionnel choisit K = 28,3 s^-1, de sorte que, sans retard, |G(jω_c)| = 1 et la marge de phase vaut exactement 45°. Le candidat conclut que le cahier des charges est satisfait. Le correcteur numérique est du type C(z) = K_c ou, si nécessaire, un correcteur à avance de phase. Le barème évalue la prise en compte du retard, de l’échantillonnage et de la robustesse.
1. Calculer la marge de phase réelle en tenant compte du retard pur de 10 ms. Le réglage est-il acceptable ?
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À ω_c = 20 rad/s, la phase de G vaut -90° - arctan(τ ω_c) = -90° - arctan(20 × 0,050) = -90° - 45° = -135°. Le retard pur ajoute -ω_c T = -20 × 0,010 = -0,200 rad = -11,46°. La phase totale est donc -146,46°, soit une marge de phase de 180° - 146,46° = 33,54°. Elle est inférieure à 45° : le réglage n’est pas acceptable. Le candidat a calculé la marge du système sans retard et a négligé un déphasage pourtant comparable à la marge restante.
2. Déterminer l’avance de phase minimale à apporter à 20 rad/s, puis proposer un correcteur à avance du premier ordre C(p) = (1+aTp)/(1+Tp) avec a > 1 et T = 1/(ω_c√a). Calculer a pour une avance de 15° et vérifier l’ordre de grandeur du gain.
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Il manque 45° - 33,54° = 11,46°. On vise 15° pour garder une marge. Pour un correcteur à avance, φ_m = arcsin((a-1)/(a+1)) = 15°, donc (a-1)/(a+1) = sin 15° = 0,2588, d’où a = 1,2588/0,7412 = 1,70. On place le maximum à ω_c : T = 1/(20√1,70) = 1/(20 × 1,303) = 0,0384 s. Alors C(p) = (1+0,0652p)/(1+0,0384p). À 20 rad/s, la phase vaut arctan(1,304) - arctan(0,768) ≈ 52,5° - 37,5° = 15,0°. Le gain du correcteur à ω_c vaut √a ≈ 1,30 : il faut réduire K d’autant, soit K’ ≈ 28,3/1,30 = 21,7 s^-1, pour conserver ω_c = 20 rad/s. La marge devient alors environ 33,54° + 15° = 48,5°.
3. Discuter la robustesse : retard supplémentaire de 2 ms et échantillonnage avec bloqueur d’ordre zéro à 10 ms. Faut-il valider ce réglage ?
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Un retard supplémentaire de 2 ms ajoute -20 × 0,002 = -0,040 rad = -2,3°, ce qui ramène la marge à environ 46,2° : elle reste juste au-dessus de 45°. Mais le bloqueur d’ordre zéro introduit un retard équivalent d’environ T_e/2 = 5 ms, soit -20 × 0,005 = -0,100 rad = -5,7°. La marge tombe alors à environ 48,5° - 5,7° = 42,8°, sous le cahier des charges. Il ne faut donc pas valider le réglage sans simulation temporelle. Le correcteur à avance amplifie aussi le bruit haute fréquence d’un facteur √a ≈ 1,3 et peut solliciter l’actionneur. Une solution consiste à abaisser ω_c, à réduire K ou à compenser explicitement le retard ; sinon, la marge annoncée est optimiste.