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Question 1Mathématiques (written problem-based papers)

Dans une copie de Mathématiques du concours Centrale-Supélec, on étudie la suite définie par u₀ = 1 et u_{n+1} = (u_n + 2)/3. Quelle est la limite de cette suite ?

  1. 1/3
  2. 1 Correct answer.
  3. 2/3
  4. 0

Explanation

La suite est récurrente affine u_{n+1} = a·u_n + b avec a = 1/3 et b = 2/3. Comme |a| < 1, elle converge vers le point fixe ℓ = b/(1−a) = (2/3)/(2/3) = 1. On vérifie aussi que u_n − 1 = (1/3)^n (u₀ − 1) = 0, donc la suite est constante égale à 1.

Question 2Mathématiques (written problem-based papers)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. Quel est le tableau de variations correct de f sur ℝ ?

  1. f croissante sur ]−∞,−1], décroissante sur [−1,1], croissante sur [1,+∞[ Correct answer.
  2. f décroissante sur ℝ tout entier
  3. f croissante sur ℝ tout entier
  4. f décroissante sur ]−∞,−1], croissante sur [−1,1], décroissante sur [1,+∞[

Explanation

On calcule f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1). Le trinôme est positif à l'extérieur des racines −1 et 1, négatif entre elles. Donc f croît, atteint un maximum local en −1, décroît jusqu'en 1, puis croît à nouveau.

Question 3Mathématiques (written problem-based papers)

On considère l'intégrale I = ∫₀¹ ln(1+t) dt. Quelle est sa valeur exacte ?

  1. ln2 − 1
  2. 2ln2
  3. ln2
  4. 2ln2 − 1 Correct answer.

Explanation

On intègre par parties avec u = ln(1+t), dv = dt, d'où I = [t·ln(1+t)]₀¹ − ∫₀¹ t/(1+t) dt. Or t/(1+t) = 1 − 1/(1+t), donc I = ln2 − [t − ln(1+t)]₀¹ = ln2 − (1 − ln2) = 2ln2 − 1.

Question 4Mathématiques (written problem-based papers)

Soit A la matrice 2×2 [[1,2],[3,4]]. Quel est le polynôme caractéristique de A ?

  1. χ_A(λ) = λ² + 5λ − 2
  2. χ_A(λ) = λ² − 5λ − 2 Correct answer.
  3. χ_A(λ) = λ² − 4λ − 5
  4. χ_A(λ) = λ² − 5λ + 2

Explanation

On a χ_A(λ) = det(A − λI) = (1−λ)(4−λ) − 6 = λ² − 5λ + 4 − 6 = λ² − 5λ − 2. Le coefficient de λ est bien −tr(A) = −5 et le terme constant vaut det(A) = −2.

Question 5Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la série de terme général a_n = 1/(n² + n) pour n ≥ 1. Quelle est la nature de cette série et, le cas échéant, sa somme ?

  1. Elle converge et sa somme vaut 1/2
  2. Elle diverge car a_n ∼ 1/n
  3. Elle converge mais sa somme n'est pas calculable simplement
  4. Elle converge et sa somme vaut 1 Correct answer.

Explanation

On décompose 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), ce qui donne une somme télescopique. La somme partielle vaut 1 − 1/(N+1) et tend vers 1. La série converge donc et sa somme est exactement 1.

Question 6Mathématiques (written problem-based papers)

Soit E un ℝ-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Laquelle des propositions suivantes est équivalente à l'inversibilité de f ?

  1. ker f = {0} Correct answer.
  2. f est diagonalisable
  3. f admet une valeur propre non nulle
  4. f est symétrique

Explanation

En dimension finie, le théorème du rang donne dim(ker f) + dim(Im f) = dim E. L'application f est injective si et seulement si ker f = {0}, ce qui équivaut à la surjectivité et donc à la bijectivité. L'inversibilité de f est ainsi équivalente à la trivialité de son noyau.

Question 7Mathématiques (written problem-based papers)

Quelle est la valeur de la somme ∑_{k=0}^{n} C(n,k) pour n entier naturel ?

  1. n·2^{n−1}
  2. 2^n Correct answer.
  3. 2^{n+1}
  4. n!

Explanation

C'est la formule du binôme appliquée à (1+1)^n = ∑_{k=0}^n C(n,k)·1^k·1^{n−k}. On obtient directement ∑ C(n,k) = 2^n, qui compte le nombre de parties d'un ensemble à n éléments.

Question 8Mathématiques (written problem-based papers)

On considère l'équation différentielle y′ + y = e^{−x}. Quelle est la forme générale des solutions sur ℝ ?

  1. y(x) = Ce^{x} + e^{−x}
  2. y(x) = C + e^{−x}
  3. y(x) = Ce^{−x}
  4. y(x) = (x + C)e^{−x} Correct answer.

Explanation

L'équation homogène y′ + y = 0 a pour solutions Ce^{−x}. Le second membre e^{−x} est résonant avec la solution homogène : on cherche une solution particulière de la forme (ax)e^{−x}, ce qui donne a = 1. D'où y(x) = (x + C)e^{−x}.

Question 9Mathématiques (written problem-based papers)

Soit (u_n) une suite réelle. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

  1. Toute suite bornée est convergente
  2. Toute suite convergente est bornée Correct answer.
  3. Toute suite admettant une valeur d'adhérence converge
  4. Toute suite monotone est convergente

Explanation

Une suite convergente de limite ℓ est bornée : au-delà d'un certain rang elle reste dans ]ℓ−1, ℓ+1[, et les premiers termes sont en nombre fini. La réciproque est fausse, comme le montre u_n = (−1)^n.

Question 10Mathématiques (written problem-based papers)

On pose f(x) = e^{−1/x²} pour x ≠ 0 et f(0) = 0. Quelle propriété f possède-t-elle en 0 ?

  1. f n'est pas continue en 0
  2. f est dérivable en 0 mais sa dérivée n'est pas continue
  3. f est continue mais non dérivable en 0
  4. f est de classe C^∞ sur ℝ et toutes ses dérivées en 0 sont nulles Correct answer.

Explanation

La fonction f est le prolongement par continuité classique de e^{−1/x²}. On montre par récurrence que toute dérivée est de la forme P(1/x)e^{−1/x²}, qui tend vers 0 en 0 ; la fonction est donc C^∞ et toutes ses dérivées en 0 sont nulles.

Question 11Mathématiques (written problem-based papers)

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels. Laquelle des conditions suivantes est équivalente à l'inversibilité de A ?

  1. A est symétrique
  2. det(A) ≠ 0 Correct answer.
  3. A possède une valeur propre réelle
  4. tr(A) ≠ 0

Explanation

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Cette condition équivaut aussi au fait que les colonnes de A forment une base de ℝ^n, ou encore que le système AX = 0 admet uniquement la solution nulle.

Question 12Mathématiques (written problem-based papers)

On considère l'application f : ℝ² → ℝ² définie par f(x,y) = (x + y, x − y). Quelle est la nature de f ?

  1. f est linéaire mais non surjective
  2. f n'est pas linéaire
  3. f est un automorphisme de ℝ² et f⁻¹(x,y) = ((x+y)/2, (x−y)/2) Correct answer.
  4. f est linéaire mais non injective

Explanation

La matrice de f dans la base canonique est [[1,1],[1,−1]], de déterminant −2 ≠ 0. Donc f est un isomorphisme. En résolvant x + y = a et x − y = b, on obtient x = (a+b)/2 et y = (a−b)/2, ce qui donne l'expression de la réciproque.

Question 13Mathématiques (written problem-based papers)

Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑_{n≥1} x^n / n ?

  1. +∞
  2. 1 Correct answer.
  3. e
  4. 0

Explanation

On applique la règle de d'Alembert : |a_{n+1}/a_n| = n/(n+1) → 1, donc le rayon vaut 1. On reconnaît d'ailleurs le développement −ln(1−x) valable pour |x| < 1, qui diverge en x = 1.

Question 14Mathématiques (written problem-based papers)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Quelle est l'expression de P(X > t) pour t ≥ 0 ?

  1. λe^{−λt}
  2. e^{−λt} Correct answer.
  3. 1/λ
  4. 1 − e^{−λt}

Explanation

La fonction de répartition est F(t) = P(X ≤ t) = 1 − e^{−λt} pour t ≥ 0. Donc P(X > t) = 1 − F(t) = e^{−λt}, ce qui traduit la propriété d'absence de mémoire de la loi exponentielle.

Question 15Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la fonction f définie sur ]0,+∞[ par f(x) = x − ln x. Quel est le minimum de f sur cet intervalle ?

  1. 0, atteint en x = 1
  2. f n'admet pas de minimum
  3. 1, atteint en x = 1 Correct answer.
  4. e, atteint en x = e

Explanation

On dérive f′(x) = 1 − 1/x = (x−1)/x, qui est négatif sur ]0,1[ et positif sur ]1,+∞[. La fonction atteint donc son minimum en x = 1 et f(1) = 1 − 0 = 1.

Question 16Mathématiques (written problem-based papers)

Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. Laquelle des propositions suivantes caractérise le fait que u est une isométrie vectorielle ?

  1. u conserve le produit scalaire : ⟨u(x),u(y)⟩ = ⟨x,y⟩ pour tous x,y Correct answer.
  2. u est nilpotent
  3. u admet une valeur propre de module 1
  4. u est diagonalisable en base orthonormée

Explanation

Une isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) est par définition une application linéaire qui conserve le produit scalaire. De façon équivalente, elle conserve la norme, ou encore sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale.

Question 17Mathématiques (written problem-based papers)

On pose, pour n ≥ 1, S_n = ∑_{k=1}^{n} 1/k. Quel équivalent de S_n obtient-on lorsque n tend vers +∞ ?

  1. S_n ∼ ln n + γ, où γ est la constante d'Euler
  2. S_n ∼ 1/n
  3. S_n ∼ n
  4. S_n ∼ ln n Correct answer.

Explanation

On compare la somme à une intégrale : ∫₁^{n+1} dt/t ≤ S_n ≤ 1 + ∫₁^{n} dt/t, ce qui encadre S_n par ln(n+1) et 1 + ln n. On en déduit S_n ∼ ln n. La suite S_n − ln n converge vers la constante d'Euler, mais ce n'est pas un équivalent.

Question 18Mathématiques (written problem-based papers)

Soit P un polynôme non nul de degré n à coefficients complexes. Combien de racines complexes P possède-t-il, comptées avec multiplicité ?

  1. Exactement n Correct answer.
  2. Exactement n − 1
  3. Au moins n
  4. Au plus n, mais pas nécessairement n

Explanation

C'est le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coefficients dans ℂ est scindé sur ℂ. Un polynôme de degré n y admet donc exactement n racines comptées avec multiplicité, ce qui s'écrit P(z) = a∏(z − z_k).

Question 19Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la matrice M = [[0,1],[1,0]]. Que peut-on dire de M ?

  1. M est diagonalisable, de valeurs propres 1 et −1 Correct answer.
  2. M est orthogonale mais pas symétrique
  3. M est nilpotente
  4. M n'est pas diagonalisable

Explanation

Le polynôme caractéristique est λ² − 1 = (λ−1)(λ+1), scindé à racines simples. La matrice est donc diagonalisable, avec les vecteurs propres (1,1) pour la valeur 1 et (1,−1) pour la valeur −1. Elle est de plus symétrique et orthogonale.

Question 20Mathématiques (written problem-based papers)

Soit f une fonction continue sur le segment [a,b]. Que peut-on affirmer de l'intégrale ∫_a^b f(t) dt ?

  1. L'intégrale est toujours du signe de f(b)
  2. L'intégrale est nulle si et seulement si f est nulle en un point
  3. L'intégrale est toujours strictement positive
  4. Si f est positive et non identiquement nulle, l'intégrale est strictement positive Correct answer.

Explanation

Si f est continue, positive et non identiquement nulle, il existe un point où f > 0, donc par continuité un intervalle sur lequel f ≥ m > 0. L'intégrale est alors au moins m·longueur > 0. C'est le théorème de positivité stricte de l'intégrale.

Question 21Mathématiques (written problem-based papers)

Soit (u_n) la suite définie par u_n = (1 + 1/n)^n pour n ≥ 1. Quelle est la limite de u_n ?

  1. +∞
  2. 1
  3. e Correct answer.
  4. 0

Explanation

La suite (1 + 1/n)^n est croissante et converge vers le nombre e, base du logarithme népérien. On peut le voir en écrivant u_n = exp(n·ln(1 + 1/n)) et en utilisant ln(1 + x) ∼ x en 0.

Question 22Mathématiques (written problem-based papers)

Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n. Quelle propriété est vraie ?

  1. A est inversible
  2. A admet n valeurs propres distinctes
  3. A est nilpotente si elle est non nulle
  4. A est orthogonalement diagonalisable : il existe une base orthonormée de vecteurs propres Correct answer.

Explanation

Le théorème spectral affirme que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée, avec des valeurs propres réelles. C'est un résultat fondamental utilisé en analyse et en géométrie.

Question 23Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la fonction f(x) = x³. Combien vaut f^{(n)}(x), dérivée n-ième, pour n ≥ 3 ?

  1. 0 Correct answer.
  2. n! x^{3−n}
  3. 3·2·1 pour n = 3, puis 0 au-delà
  4. 6x^{3−n}

Explanation

La dérivée première est 3x², la deuxième 6x, la troisième 6, et toutes les dérivées suivantes sont nulles. Pour n ≥ 3, la dérivée n-ième de x³ est donc nulle (la dérivée troisième valant 6, elle s'annule à partir de la quatrième).

Question 24Mathématiques (written problem-based papers)

Soit f : [0,1] → ℝ continue et dérivable, avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Que garantit le théorème des accroissements finis ?

  1. Il existe c ∈ ]0,1[ tel que f′(c) = 1 Correct answer.
  2. f est croissante sur [0,1]
  3. f′ est constante égale à 1 sur [0,1]
  4. Il existe c ∈ ]0,1[ tel que f′(c) = 0

Explanation

Le théorème des accroissements finis assure l'existence de c ∈ ]0,1[ tel que f(1) − f(0) = f′(c)(1 − 0). Comme f(1) − f(0) = 1, on obtient f′(c) = 1 : la tangente est parallèle à la corde joignant les extrémités.

Question 25Mathématiques (written problem-based papers)

On considère l'équation différentielle y″ + y = 0. Quelle est la forme générale de ses solutions sur ℝ ?

  1. y(x) = A cos x + B sin x, avec A, B réels Correct answer.
  2. y(x) = A cos(2x) + B sin(2x)
  3. y(x) = (Ax + B)e^x
  4. y(x) = Ae^x + Be^{−x}

Explanation

L'équation caractéristique est r² + 1 = 0, de racines ±i. Les solutions réelles sont donc de la forme A cos x + B sin x, combinaison linéaire des solutions fondamentales cos et sin.

Question 26Mathématiques (written problem-based papers)

Dans le cadre du programme de Centrale-Supélec, on étudie la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (u_n + 2)/3. Quelle est la limite de cette suite ?

  1. 1 Correct answer.
  2. 3
  3. 2
  4. +∞

Explanation

La suite est récurrente affine u_{n+1} = (1/3)u_n + 2/3. Le point fixe vérifie ℓ = (ℓ+2)/3, d'où 3ℓ = ℓ + 2 et ℓ = 1. Comme le coefficient 1/3 est de valeur absolue strictement inférieure à 1, la suite converge vers ce point fixe quelle que soit la donnée initiale.

Question 27Mathématiques (written problem-based papers)

On considère l'intégrale I = ∫_0^1 ln(t) dt, intégrale généralisée en 0. Quelle est sa valeur ?

  1. 1
  2. −∞
  3. 0
  4. −1 Correct answer.

Explanation

Une primitive de ln sur ]0,1] est t ln t − t. En évaluant entre ε et 1 et en utilisant lim_{ε→0} ε ln ε = 0, on obtient I = (1·0 − 1) − 0 = −1. L'intégrale est donc convergente et vaut −1.

Question 28Mathématiques (written problem-based papers)

Soit A = [[1,2],[2,1]] une matrice symétrique réelle. Quelles sont ses valeurs propres ?

  1. 1 et 1
  2. √5 et −√5
  3. 2 et 1
  4. 3 et −1 Correct answer.

Explanation

Le polynôme caractéristique vaut (1−λ)² − 4 = (λ−3)(λ+1). Les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles, ce qui est cohérent : on trouve 3 et −1, dont la somme égale la trace 2 et le produit le déterminant −3.

Question 29Mathématiques (written problem-based papers)

Dans un espace euclidien E, on considère deux vecteurs u et v. À quelle condition la famille (u, v) est-elle orthogonale ?

  1. Lorsque u + v est orthogonal à u − v
  2. Lorsque ‖u‖ = ‖v‖
  3. Lorsque le produit scalaire ⟨u, v⟩ est nul Correct answer.
  4. Lorsque u et v sont colinéaires

Explanation

Par définition, une famille de vecteurs est orthogonale lorsque les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, c'est-à-dire de produit scalaire nul. Pour deux vecteurs, la seule condition à vérifier est donc ⟨u, v⟩ = 0.

Question 30Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la fonction f définie sur ℝ² par f(x,y) = x² + xy + y². Quel est le point critique de f ?

  1. (−1,1)
  2. (1,1)
  3. (1,−1)
  4. (0,0) Correct answer.

Explanation

Les dérivées partielles valent ∂f/∂x = 2x + y et ∂f/∂y = x + 2y. Le système 2x + y = 0, x + 2y = 0 a pour unique solution (0,0), seul point critique de f. La forme quadratique associée est définie positive, ce point est donc un minimum global.

Question 31Mathématiques (written problem-based papers)

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. Quelle est la loi de Y = −ln(X) ?

  1. La loi de Poisson de paramètre 1
  2. La loi normale centrée réduite
  3. La loi uniforme sur [0,1]
  4. La loi exponentielle de paramètre 1 Correct answer.

Explanation

Pour t ≥ 0, P(Y ≤ t) = P(−ln X ≤ t) = P(X ≥ e^{−t}) = 1 − e^{−t}. C'est exactement la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre 1. La transformation logarithmique de la loi uniforme produit donc une loi exponentielle.

Question 32Mathématiques (written problem-based papers)

Dans un ℂ-espace vectoriel de dimension 3, on considère un endomorphisme u dont le polynôme caractéristique est (X − 1)²(X − 2). Quelle affirmation est certaine ?

  1. u est diagonalisable
  2. u admet 1 et 2 comme valeurs propres, et le sous-espace propre associé à 1 est de dimension 1 ou 2 Correct answer.
  3. u est l'identité
  4. u n'admet aucune valeur propre réelle

Explanation

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique, donc 1 (double) et 2. La dimension du sous-espace propre E_1 est comprise entre 1 et la multiplicité algébrique 2. La diagonalisabilité n'est pas garantie car elle exigerait dim E_1 = 2.

Question 33Mathématiques (written problem-based papers)

Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑_{n≥0} (n! / n^n) x^n ?

  1. +∞
  2. 1/e
  3. 1
  4. e Correct answer.

Explanation

On applique la règle de d'Alembert au coefficient a_n = n!/n^n : le rapport a_{n+1}/a_n = (n/(n+1))^n tend vers 1/e. Le rayon de convergence est donc l'inverse, soit e. La formule de Stirling confirme ce calcul.

Question 34Mathématiques (written problem-based papers)

Soit f la fonction définie par f(x) = x/(1 − x²). Quel est le développement en série entière de f au voisinage de 0 ?

  1. ∑_{n≥0} x^{2n+1} Correct answer.
  2. ∑_{n≥0} x^{n+1}
  3. ∑_{n≥0} x^{2n}
  4. ∑_{n≥0} (−1)^n x^{2n+1}

Explanation

On écrit f(x) = x · 1/(1 − x²). Or 1/(1 − u) = ∑ u^n pour |u| < 1, donc avec u = x² on obtient 1/(1 − x²) = ∑ x^{2n}. En multipliant par x, il vient f(x) = ∑_{n≥0} x^{2n+1}, valable pour |x| < 1.

Question 35Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la matrice B = [[1,1,0],[0,1,1],[0,0,1]]. Quel est son polynôme minimal ?

  1. X³ − 1
  2. (X − 1)³ Correct answer.
  3. (X − 1)
  4. (X − 1)²

Explanation

La matrice B − I est nilpotente d'indice 3 : ses puissances (B−I)² et (B−I)³ sont non nulles puis nulles, comme le montre le décalage des 1. Le polynôme minimal est donc (X − 1)³, égal au polynôme caractéristique.

Question 36Mathématiques (written problem-based papers)

On considère l'intégrale double J = ∫∫_D (x² + y²) dx dy où D est le disque unité x² + y² ≤ 1. Quelle est sa valeur ?

  1. π
  2. 2π
  3. π/4
  4. π/2 Correct answer.

Explanation

En coordonnées polaires, x² + y² = r² et dx dy = r dr dθ. On obtient J = ∫_0^{2π} ∫_0^1 r³ dr dθ = 2π × (1/4) = π/2. Le calcul utilise le jacobien r de la transformation polaire.

Question 37Mathématiques (written problem-based papers)

Soit (f_n) la suite de fonctions définies sur [0,1] par f_n(x) = x^n. Quelle est la nature de sa convergence ?

  1. Convergence uniforme vers la fonction nulle
  2. Convergence uniforme vers la fonction constante égale à 1
  3. Absence de convergence simple
  4. Convergence simple vers la fonction valant 0 sur [0,1[ et 1 en 1, sans convergence uniforme Correct answer.

Explanation

Pour x ∈ [0,1[, x^n tend vers 0, tandis qu'en x = 1 on a f_n(1) = 1 pour tout n. La limite simple est donc discontinue. Une limite uniforme de fonctions continues étant continue, la convergence ne peut pas être uniforme sur [0,1].

Question 38Mathématiques (written problem-based papers)

On pose, pour n ≥ 1, a_n = (−1)^n / √n. Que peut-on dire de la série ∑ a_n ?

  1. Elle converge absolument
  2. Elle converge, mais pas absolument Correct answer.
  3. Elle diverge grossièrement
  4. Elle diverge vers +∞

Explanation

La suite (1/√n) décroît vers 0, donc le critère spécial des séries alternées assure la convergence de ∑ (−1)^n/√n. En revanche, la série des valeurs absolues ∑ 1/√n est une série de Riemann d'exposant 1/2 ≤ 1, divergente. La convergence est donc semi-convergente.

Question 39Mathématiques (written problem-based papers)

Soit A une matrice de taille n à coefficients dans ℂ. Quelle condition est équivalente au fait que A est diagonalisable ?

  1. Le polynôme minimal de A est scindé à racines simples Correct answer.
  2. La matrice A est inversible
  3. Le polynôme caractéristique de A est scindé sur ℂ
  4. La matrice A est symétrique

Explanation

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est produit de facteurs distincts de degré 1. Sur ℂ, cela signifie que le polynôme minimal est scindé et à racines simples, condition plus forte que le simple scindage du polynôme caractéristique.

Question 40Mathématiques (written problem-based papers)

On considère l'équation différentielle y″ − 3y′ + 2y = 0. Quelle est la forme générale de ses solutions sur ℝ ?

  1. y(x) = λ e^{−x} + μ e^{−2x}
  2. y(x) = λ cos x + μ sin x
  3. y(x) = λ e^x + μ e^{2x} Correct answer.
  4. y(x) = (λ + μx) e^x

Explanation

L'équation caractéristique r² − 3r + 2 = 0 admet les racines réelles distinctes 1 et 2. La solution générale est donc combinaison linéaire de e^x et e^{2x}, avec λ et μ constantes réelles.

Question 41Mathématiques (written problem-based papers)

Soit G un groupe fini d'ordre 15. Que peut-on affirmer ?

  1. G est cyclique Correct answer.
  2. G est isomorphe à ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ seulement si G est abélien, ce qui est faux ici
  3. G n'est pas abélien
  4. G est d'ordre premier

Explanation

Comme 15 = 3 × 5 avec 3 ne divisant pas 5 − 1 = 4, les théorèmes de Sylow montrent que G possède un unique 3-Sylow et un unique 5-Sylow, tous deux distingués. Le groupe est produit direct de ces sous-groupes cycliques d'ordres premiers entre eux, donc cyclique.

Question 42Mathématiques (written problem-based papers)

Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) = x sur ]−π, π[. Que vaut le coefficient de Fourier a_0 de f, défini comme la valeur moyenne ?

  1. 0 Correct answer.
  2. π
  3. 2π
  4. 1

Explanation

Le coefficient a_0 est la valeur moyenne de f sur une période : (1/2π)∫_{−π}^{π} x dx. L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle, donc a_0 = 0. La fonction f étant impaire, tous les coefficients en cosinus s'annulent.

Question 43Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la fonction f définie sur ℝ* par f(x) = sin(x)/x. Quel prolongement par continuité admet-elle en 0 ?

  1. f(0) = 0
  2. f(0) = +∞
  3. f(0) = 1 Correct answer.
  4. Aucun prolongement par continuité n'existe

Explanation

L'équivalent sin x ~ x au voisinage de 0 donne sin(x)/x → 1. La fonction admet donc un prolongement continu en 0 en posant f(0) = 1, et ce prolongement est en fait de classe C^∞ sur ℝ.

Question 44Mathématiques (written problem-based papers)

Soit A une matrice réelle de taille 3 dont les valeurs propres sont 1, 2 et 3. Que vaut det(A² − 5A + 6I) ?

  1. −6
  2. 36
  3. 6
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Le polynôme P(X) = X² − 5X + 6 = (X − 2)(X − 3) s'annule en les valeurs propres 2 et 3 de A. La matrice P(A) est donc singulière : elle admet 0 comme valeur propre, et son déterminant est nul.

Question 45Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la série de terme général u_n = 1/(n ln² n) pour n ≥ 2. Quelle est sa nature ?

  1. Elle converge seulement si n est pair
  2. Elle diverge vers +∞
  3. Elle converge Correct answer.
  4. Elle est alternée et semi-convergente

Explanation

La fonction t ↦ 1/(t ln² t) est positive, continue et décroissante sur [2,+∞[. Une primitive est −1/ln t, qui admet une limite finie en +∞. Par comparaison série-intégrale, la série converge.

Question 46Mathématiques (written problem-based papers)

Dans ℝ³ muni du produit scalaire usuel, on considère le plan P d'équation x + 2y + 2z = 0. Quelle est la distance du point A = (1,1,1) au plan P ?

  1. 1
  2. 5/3 Correct answer.
  3. 5
  4. 3/5

Explanation

La distance d'un point à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 vaut |ax_A + by_A + cz_A + d| / √(a² + b² + c²). Ici le numérateur vaut |1 + 2 + 2| = 5 et la norme du vecteur normal vaut √9 = 3, d'où 5/3.

Question 47Mathématiques (written problem-based papers)

Soit f une fonction de classe C¹ sur ℝ² vérifiant ∂f/∂x = 2xy et ∂f/∂y = x² + 2y. Quelle expression de f est compatible avec ces deux dérivées partielles ?

  1. f(x,y) = x²y + y + C
  2. f(x,y) = x²y + y² + C Correct answer.
  3. f(x,y) = xy² + y² + C
  4. f(x,y) = x²y² + C

Explanation

En intégrant ∂f/∂x = 2xy par rapport à x, on obtient f(x,y) = x²y + g(y). La dérivée partielle en y donne x² + g′(y) = x² + 2y, donc g′(y) = 2y et g(y) = y² + C. La forme quadratique x²y + y² convient et la condition de Schwarz est satisfaite.

Question 48Mathématiques (written problem-based papers)

Soit (u_n) une suite réelle bornée. On suppose que u_{n+1} − u_n tend vers 0. Que peut-on affirmer sur l'ensemble des valeurs d'adhérence de (u_n) ?

  1. C'est un intervalle non vide Correct answer.
  2. C'est un ensemble fini non réduit à un point
  3. C'est un singleton
  4. Il est vide

Explanation

Une suite bornée possède au moins une valeur d'adhérence par le théorème de Bolzano-Weierstrass. La condition u_{n+1} − u_n → 0 implique que l'ensemble des valeurs d'adhérence est connexe, donc un intervalle. Il peut être un singleton, mais pas nécessairement.

Question 49Mathématiques (written problem-based papers)

Soit A une matrice réelle symétrique définie positive d'ordre n. On considère l'application Φ(x) = (1/2)⟨Ax, x⟩ − ⟨b, x⟩ sur ℝ^n. Quelle propriété caractérise son unique minimiseur ?

  1. C'est l'unique solution de Ax = b Correct answer.
  2. C'est l'unique solution de A²x = b
  3. C'est le vecteur b lui-même
  4. Il n'existe pas de minimiseur car Φ n'est pas bornée

Explanation

La fonction Φ est de gradient Ax − b et sa hessienne est A, définie positive. Elle est donc strictement convexe et coercive, et admet un unique minimiseur caractérisé par l'annulation du gradient, soit Ax = b. Ce résultat relie l'optimisation convexe et les systèmes linéaires.

Question 50Mathématiques (written problem-based papers)

On considère la fonction ζ(s) = ∑_{n≥1} 1/n^s pour s > 1. Quelle est la nature de la série ∑_{n≥2} (ζ(n) − 1) ?

  1. Elle converge vers 1 Correct answer.
  2. Elle diverge vers +∞
  3. Elle diverge car ζ(n) − 1 ne tend pas vers 0
  4. Elle converge vers 1/2

Explanation

Pour n ≥ 2, ζ(n) − 1 = ∑_{k≥2} 1/k^n. En sommant sur n et en intervertissant les sommes, on obtient ∑_{k≥2} ∑_{n≥2} k^{−n} = ∑_{k≥2} 1/(k(k−1)), série télescopique qui vaut 1. L'interversion est légitime par positivité des termes.