Mathématiques - épreuves écrites de problèmes
Ce que l'épreuve teste
Les épreuves écrites de mathématiques de Centrale-Supélec (Mathématiques 1 et Mathématiques 2, selon la filière) sont des problèmes longs et synthétiques, bâtis autour d'un objet unique - suite d'intégrales, endomorphisme défini par un noyau, marche aléatoire - puis découpés en parties liées. Le concours évalue trois blocs : analyse (convergence de séries et d'intégrales, interversion limite/intégrale, équations différentielles, développements asymptotiques), algèbre (réduction, espaces euclidiens, déterminants, polynômes d'endomorphismes) et probabilités (variables discrètes et à densité, fonctions génératrices, convergence en loi).
Le style des questions
La quasi-totalité des questions commence par « montrer que », « en déduire », « justifier ». Certains résultats sont donnés par un « on admet » : ils servent à poursuivre le problème, mais ne dispensent jamais de justifier correctement les questions précédentes. Les questions s'enchaînent : si vous ne savez pas démontrer un préliminaire, écrivez-le comme admis et continuez, le barème est conçu pour que la suite reste accessible. Vérifiez toujours les hypothèses avant de citer un théorème : dimension finie, continuité, classe C1, intégrabilité.
Outils qui reviennent
- Intégrale à paramètre : continuité et dérivabilité sous le signe intégral, avec hypothèse de domination locale.
- Séries entières : rayon, convergence normale sur un compact, lien avec les équations différentielles.
- Réduction : lemme des noyaux, polynôme annulateur, diagonalisabilité lorsque le polynôme est scindé à racines simples.
- Probabilités : fonction génératrice, espérance conditionnelle, loi des grands nombres.
Exemple travaillé
Soit F(x) = ∫₀^∞ e^(−xt)/(1+t²) dt pour x > 0. Montrer que F est de classe C1 et calculer F′. Posons f(x,t) = e^(−xt)/(1+t²). Pour tout x > 0 et t ≥ 0, |f(x,t)| ≤ 1/(1+t²), intégrable sur [0,+∞[. La dérivée partielle vaut ∂f/∂x = −t e^(−xt)/(1+t²). Sur [a,+∞[ avec a > 0, |∂f/∂x| ≤ t e^(−at), intégrable et indépendante de x : c'est l'hypothèse de domination. Donc F est C1 sur [a,+∞[ pour tout a > 0, donc sur ]0,+∞[, et F′(x) = −∫₀^∞ t e^(−xt)/(1+t²) dt. Les points sont dans l'identification de la fonction dominante et la localisation en x, pas dans le calcul.
Pièges qui coûtent des points
- Domination « à x fixé » alors que x varie : la fonction dominante ne doit pas dépendre de x.
- Confondre diagonalisable et trigonalisable, ou invoquer la réduction sans polynôme annulateur.
- Écrire une limite sans nommer le théorème utilisé (convergence dominée, convergence normale, croissances comparées).
- Oublier de vérifier qu'une série de fonctions converge normalement sur l'intervalle annoncé.