Poisson ou binomiale : une approximation qui fait basculer une décision qualité
Une usine produit des diodes dont 2,0 % sont défectueuses, et le contrôle qualité prélève 200 diodes par lot, assimilées à un tirage avec remise. Un stagiaire modélise le nombre X de diodes défectueuses par une loi de Poisson de paramètre λ = 4 et annonce P(X ≥ 8) ≈ 0,051. Le cahier des charges du client impose de refuser un lot dès que P(X ≥ 8) dépasse 0,050. Le stagiaire conclut donc au rejet du lot. Son tuteur objecte que l'approximation de Poisson n'est pas gratuite ici : n = 200, p = 0,02, np = 4, mais aussi np(1 − p) = 3,92, et il exige une erreur absolue inférieure à 10⁻³ sur la probabilité calculée avant toute décision. Le service statistique fournit la valeur binomiale exacte, P(X ≥ 8) = 0,0494. Personne ne veut rejeter des lots conformes ni accepter des lots défectueux sur la base d'un simple artefact de calcul.
1. Calculer P(X ≥ 8) sous l'hypothèse de Poisson et évaluer l'erreur commise par rapport à la référence binomiale. L'exigence de 10⁻³ est-elle tenue ?
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Calcul Poisson. Avec λ = 4, e^(−4) = 0,018316 et P(X = k) = e^(−4)·4^k/k! :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 0,01832 | 0,07326 | 0,14653 | 0,19537 | 0,19537 | 0,15629 | 0,10420 | 0,05954 |
Cumul jusqu'à 7 : 0,94887, d'où P(X ≥ 8) = 1 − 0,94887 = 0,05113.
Écart. |0,05113 − 0,04937| = 0,00176, soit 1,8·10⁻³. Le seuil de 10⁻³ n'est pas tenu.
Interprétation. L'erreur relative (3,5 %) paraît faible, mais le contrat porte sur une erreur absolue dans une queue de probabilité de l'ordre de 5 %, là où l'approximation est la plus fragile. La cause est structurelle : la binomiale a une variance np(1−p) = 3,92 inférieure à λ = 4 et une queue droite plus légère ; le critère usuel « n grand, p petit, np modéré » donne ici np² = 0,08, ce qui n'est pas assez petit pour garantir 10⁻³. Une erreur relative faible ne dispense pas de vérifier l'erreur absolue.
2. La décision d'accepter ou de refuser le lot dépend-elle du modèle choisi ? Quelle règle de conduite en tirer pour le contrôle qualité ?
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Les deux décisions sont opposées.
- Poisson : 0,05113 > 0,050 → lot refusé.
- Binomiale exacte : 0,04937 < 0,050 → lot accepté.
La marge disponible (0,050 − 0,04937 ≈ 6·10⁻⁴ côté exact, 1,1·10⁻³ côté Poisson) est inférieure à l'erreur du modèle (1,8·10⁻³). Le modèle n'est donc pas seulement imprécis : il est incorrect au sens de la décision, puisque l'incertitude de calcul dépasse l'écart au seuil.
Règles à retenir.
- Calculer la probabilité par la loi binomiale exacte (récurrence P(X = k+1) = P(X = k)·(n−k)/(k+1)·p/(1−p)) dès que la décision se joue à quelques 10⁻³ du seuil.
- Si l'on tient à une formule approchée, introduire une bande de garde : refuser au-delà de 0,048 et accepter en dessous, en traitant la zone intermédiaire par le calcul exact.
- Ne jamais inverser l'ordre : on choisit le modèle en fonction de la précision exigée par la décision, pas l'inverse.
3. Un collègue propose d'utiliser l'approximation normale avec correction de continuité, arguant que np = 4 et n(1−p) = 196. Que vaut alors P(X ≥ 8) et que faut-il en conclure ?
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Calcul. Moyenne 4, écart type √(np(1−p)) = √3,92 = 1,980. Avec correction de continuité : P(X ≥ 8) ≈ P(Y ≥ 7,5) = 1 − Φ((7,5 − 4)/1,980) = 1 − Φ(1,768) ≈ 1 − 0,9616 = 0,0384.
Comparaison. Exact : 0,0494 ; Poisson : 0,0511 ; normale : 0,0384. L'erreur de la normale est de 0,011, soit plus de dix fois le seuil de 10⁻³ et six fois l'erreur de Poisson. Le critère « np ≥ 4 » est un critère de qualité de l'approximation au centre de la distribution, pas dans la queue : la distribution est fortement dissymétrique (p petit, excès de zéros), et la correction de continuité ne corrige pas cette dissymétrie.
Conclusion. L'approximation normale est ici la plus mauvaise des trois options. La hiérarchie à retenir est : binomiale exacte > Poisson > normale, et l'approximation de Poisson reste acceptable pour un calcul exploratoire, pas pour trancher à 10⁻³ du seuil.