Concours e3a-Polytech cheat sheet

Théorème des accroissements finis : si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)f′(c).

Développements usuels en 0 : e^x = Σ x^n/n! ; ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³) ; (1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)x²/2 + o(x²) ; cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴).

Intégration par parties : ∫_a^b u′v = [uv]_a^b − ∫_a^b uv′ ; choisir u′ = exponentielle ou polynôme de degré élevé, v = facteur facile à primitiver.

Convergence d'une série alternée : si (a_n) décroît vers 0, Σ (−1)^n a_n converge et le reste est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé.

Équations différentielles linéaires : y′ + ay = b ⇒ y = C e^(−ax) + b/a ; y″ + ω²y = 0 ⇒ y = A cos(ωx) + B sin(ωx).

Matrices : A inversible ssi det A ≠ 0 ; det(AB) = det A · det B ; A est diagonalisable si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Probabilités totales : P(B) = Σ P(A_i)P(B|A_i) sur une partition ; Bayes : P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B).

Espérance et variance : E(aX+b) = aE(X)+b ; V(X) = E(X²) − E(X)² ; V(aX+b) = a²V(X).

Loi binomiale : P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), E(X) = np, V(X) = np(1−p) ; approximation de Poisson si n grand et p petit avec λ = np.

Mécanique du point : ΣF = ma dans un référentiel galiléen ; énergie mécanique conservée si seules les forces conservatives travaillent.

Mouvement dans un champ uniforme : accélération constante, trajectoire parabolique ; portée maximale pour un tir à 45° sans frottement.

Circuits : loi des mailles Σu = 0, loi des nœuds Σi = 0 ; régime RC : τ = RC, u_C(t) = E(1 − e^(−t/τ)).

Ondes : relation λ = v/f ; diffraction par une fente de largeur a : écart angulaire θ ≈ λ/a ; interférences constructives si différence de marche = kλ.

Optique géométrique : loi de Snell-Descartes n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂ ; réflexion totale si n₁ > n₂ et i₁ > arcsin(n₂/n₁).

Thermodynamique : premier principe ΔU = W + Q ; gaz parfait PV = nRT ; transformation adiabatique réversible PV^γ = constante.

Électromagnétisme : force de Lorentz F = q(E + v ∧ B) ; champ magnétique d'un solénoïde long B = μ₀nI.

Physique quantique : E = hν = hc/λ ; niveau d'énergie de l'atome d'hydrogène E_n = −13,6/n² eV.

Quantité de matière : n = m/M = V/V_m (gaz) ; concentration C = n/V ; dilution C₁V₁ = C₂V₂.

Acide-base : pH = −log[H₃O⁺] ; pour un acide fort pH = −log C ; pour une base forte pH = 14 + log C (à 25 °C).

Tampon : pH = pKa + log([base]/[acide]) (relation d'Henderson-Hasselbalch) ; pouvoir tampon maximal quand pH = pKa.

Équilibre chimique : quotient Q_r, constante K(T) ; le sens d'évolution dépend du signe de ΔrG = RT ln(Q_r/K).

Cinétique : loi de vitesse v = k[A]^α[B]^β ; ordre global = α + β ; temps de demi-réaction d'ordre 1 : t₁/₂ = ln2/k.

Oxydoréduction : équilibrer les demi-équations en milieu acide avec H⁺ et H₂O ; formule de Nernst E = E° + (0,06/n) log([Ox]/[Red]).

Chimie organique : nomenclature et groupes fonctionnels (alcool, aldéhyde, cétone, acide carboxylique, ester, amide) ; mécanismes SN1/SN2 et E1/E2.

Stéréochimie : carbone asymétrique ⇒ chiralité ; configurations R/S par ordre de priorité CIP (Z > E pour les alcènes).

Chaîne d'information (acquérir, traiter, communiquer) et chaîne d'énergie (alimenter, distribuer, convertir, transmettre) structurent tout système pluritechnologique.

Liaisons mécaniques : degré de liberté par liaison (pivot = 1 rotation, glissière = 1 translation, rotule = 3 rotations, encastrement = 0).

Graphe des liaisons et schéma cinématique minimal : identifier classes d'équivalence et mobilités ; mobilité totale m = 6(n−1) − Σ degrés de liberté supprimés (formule de Grübler en 3D, version plane adaptée).

Transmission de puissance : rapport de réduction r = ω_sortie/ω_entrée = Z_menante/Z_menée pour un engrenage ; couple C = P/ω.

Statique : principe fondamental PFS - la somme des forces et la somme des moments en un point sont nulles à l'équilibre.

Résistance des matériaux : contrainte σ = F/S ; loi de Hooke σ = Eε ; moment quadratique et flèche d'une poutre encastrée-libre sous charge ponctuelle en bout : f = FL³/(3EI).

Automatique : fonction de transfert H(p) = S(p)/E(p) ; système du premier ordre H(p) = K/(1+τp), du second ordre avec gain, pulsation propre ω₀ et amortissement ζ.

Asservissement : stabilité, précision (erreur statique liée à la classe), rapidité (temps de réponse à 5 %) ; critère du revers dans le plan de Bode.

Résumé : reformuler avec ses propres mots, conserver l'ordre des idées, respecter le nombre de mots imposé avec une marge de ±10 %.

Synthèse de documents : dégager la problématique commune, confronter les points de vue, éviter la juxtaposition et citer les sources entre parenthèses.

Dissertation : introduction (accroche, problématique, annonce du plan), développement en 2 ou 3 parties, conclusion qui répond explicitement à la problématique.

Argumentation : distinguer thèse, arguments, exemples et concessions ; repérer les connecteurs logiques (cependant, en effet, par conséquent).

Figures de style à identifier : métaphore, métonymie, hyperbole, litote, anaphore, oxymore, chiasme.

Registres : comique, tragique, lyrique, épique, pathétique, polémique - chacun se repère par des marques lexicales et syntaxiques.

Accord du participe passé avec être : le participe s'accorde avec le sujet ; avec avoir : avec le COD placé avant le verbe.

Écriture d'invention : respecter le genre, le registre, l'énonciation et les contraintes de longueur imposées par le sujet.

Temps : present perfect (lien passé-présent avec since/for/already/yet) vs past simple (action datée et révolue).

Conditionnels : if + past simple → would + BV (2e conditionnel) ; if + had + participe passé → would have + participe passé (3e conditionnel).

Voix passive : be + participe passé ; le complément d'agent introduit par by ; transformation obligatoire si le sujet est inconnu ou évident.

Connecteurs logiques : however, therefore, moreover, whereas, despite + nom / -ing (mais although + proposition).

Comparatifs et superlatifs : more/most pour les adjectifs longs, -er/-est pour les courts ; irregular : good → better → best.

Phrasal verbs fréquents en compréhension écrite : carry out, bring about, look into, put forward, come up with.

Faux amis à surveiller : actually (en fait), eventually (finalement), sensible (raisonnable), library (bibliothèque).

Expression écrite : structure introduction-développement-conclusion, utiliser des exemples concrets et varier les structures syntaxiques.

Complexité : recherche linéaire O(n), dichotomie O(log n) sur un tableau trié, tri par insertion O(n²) au pire, tri fusion O(n log n).

Récursivité : toute fonction récursive doit avoir un cas de base ; la complexité se déduit de la relation de récurrence (ex. T(n) = 2T(n/2) + O(n) ⇒ O(n log n)).

Structures de données : pile (LIFO : push/pop), file (FIFO : enqueue/dequeue), liste chaînée, arbre binaire de recherche (recherche O(h)).

Parcours d'arbres : préfixe (racine, gauche, droite), infixe (gauche, racine, droite - donne l'ordre trié pour un ABR), suffixe (gauche, droite, racine).

Python : mutable vs immuable, portée des variables (local/global), compréhension de listes, gestion des exceptions try/except.

Bases de données : algèbre relationnelle (sélection σ, projection π, jointure ⋈) ; en SQL, SELECT ... FROM ... WHERE ... GROUP BY ... HAVING ... ORDER BY.

Représentation des nombres : binaire, hexadécimal, complément à deux pour les entiers signés, flottants IEEE 754.

Algorithmes classiques : Dijkstra (plus court chemin, poids positifs), parcours en largeur (BFS) et en profondeur (DFS), programmation dynamique.

Ponctuation du discours argumentatif : deux-points pour annoncer, point-virgule pour équilibrer deux propositions, virgule pour l'incise.

Éviter les paraphrases redondantes : chaque paragraphe doit apporter une idée nouvelle reliée à la problématique.

Citation : guillemets français « », référence à l'auteur et à l'œuvre ; ne jamais citer sans analyser.

Transition : une phrase de bilan de la partie précédente et une phrase d'annonce de la suivante, sans formule creuse.

Barbarismes et pléonasmes à bannir : « au jour d'aujourd'hui », « voire même », « pallier à ».

Connecteurs de concession : certes, il est vrai que, néanmoins, toutefois - utiles pour la troisième partie d'une dissertation.