Constante de temps mesurée : composant défectueux ou générateur mal modélisé ?
Lors d'un TP d'électrocinétique, un candidat charge un condensateur C = 10 µF (tolérance ±5 %) à travers une résistance R = 10 kΩ (±1 %) alimentée par un générateur dont l'afficheur indique 5,00 V. Il ajuste ses points de mesure par u_C(t) = 5(1 − e^(−t/τ)) et trouve τ = 121 ms. La valeur attendue, 100 ms, est dépassée de 21 % : le candidat conclut que le condensateur est hors tolérance et le remplace. Les composants neufs de la même série donnent tous le même τ ≈ 121 ms. Le générateur est un modèle de laboratoire dont la notice mentionne une résistance interne de sortie non nulle, de l'ordre du kilo-ohm, la sortie étant programmée en tension. Le candidat n'a mesuré que la tension aux bornes du condensateur, jamais celle réellement délivrée par le générateur pendant la charge, et n'a pas relevé le courant.
1. Montrer que la tolérance des composants ne peut pas expliquer τ = 121 ms.
Read the worked answer
Encadrement des valeurs possibles.
- R ∈ [9,90 ; 10,10] kΩ (1 %), C ∈ [9,5 ; 10,5] µF (5 %).
- τ_min = 9,90·10³ × 9,5·10⁻⁶ = 94,1 ms.
- τ_max = 10,10·10³ × 10,5·10⁻⁶ = 106,1 ms.
Conclusion. L'intervalle le plus large admissible est [94 ; 106] ms. Les 121 ms mesurées en sont exclues : aucun tirage simultané des tolérances ne peut produire ce résultat. L'hypothèse « condensateur hors tolérance » est donc réfutée - et le fait que tous les composants de la série donnent la même valeur renforce le diagnostic : le défaut est systématique, donc dans le montage ou dans le protocole, pas dans le lot de composants. Un raisonnement par encadrement de tolérances est ici plus rapide et plus convaincant qu'un calcul d'incertitude composée, qui aurait seulement donné τ = 100 ms ± 5 %.
2. Expliquer la valeur observée, estimer la résistance interne du générateur et statuer sur la conformité du condensateur.
Read the worked answer
Modèle correct. Le générateur réel est une source de Thévenin (E, r) : le condensateur voit R + r, donc τ = (R + r)·C. La mesure de u_C ne permet pas de distinguer R de r : les deux résistances sont en série dans la même maille.
Estimation. r = τ/C − R = 121·10⁻³ / 10·10⁻⁶ − 10·10³ = 12 100 − 10 000 = 2,1 kΩ, valeur parfaitement cohérente avec l'ordre de grandeur annoncé par la notice.
Conformité. C = τ/(R + r) = 0,121/12 100 = 10,0 µF, soit exactement la valeur nominale, à mieux que 1 %. Le condensateur est conforme ; c'est la modélisation du générateur qui était fausse. Le candidat a interprété un écart de modèle comme un défaut de composant - erreur classique et coûteuse : changer le composant ne pouvait pas corriger le symptôme puisque le paramètre fautif (r) restait dans le circuit. Il faut retenir le réflexe : avant d'incriminer un composant, vérifier que le modèle du montage contient bien toutes les résistances série.
3. Le candidat veut mesurer C sans connaître r. Proposer une méthode expérimentale qui rende r négligeable, et justifier par un calcul.
Read the worked answer
Principe. r est fixé par le générateur (≈ 2,1 kΩ). Il devient négligeable si la résistance série ajoutée R est très grande devant r : l'erreur relative sur τ devient r/(R + r).
Choix. Prendre R = 1,0 MΩ (1 %) : τ = (10⁶ + 2,1·10³) × 10·10⁻⁶ = 10,02 s, à comparer aux 10,00 s du modèle idéal. L'erreur relative due à r est de 2,1·10³/10⁶ ≈ 0,21 %, très inférieure à la tolérance de 5 % sur C. On mesure alors C = τ/R avec une incertitude dominée par celle de R (1 %) et par la lecture du temps (quelques dizaines de ms sur 10 s, soit < 1 %).
Précautions. Il faut que la constante d'entrée de l'oscilloscope ou du voltmètre (1 MΩ ou 10 MΩ) ne vienne pas se placer en parallèle avec C : avec 10 MΩ, l'effet reste < 10 % ; avec une sonde 1 MΩ en parallèle sur 1 MΩ, la résistance équivalente tombe à 0,5 MΩ et fausse tout. On préférera donc un montage suiveur ou une sonde 10 MΩ.
Variante. Mesurer simultanément u_g(t) et i(t) : la droite u_g − u_C = r·i donne r par régression, puis C = i/(du_C/dt) à l'instant t = 0.