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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x e^{-x}. Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. 0 Correct answer.
  2. +∞
  3. −∞
  4. 1

Explanation

On sait que la croissance comparée donne lim_{x→+∞} x e^{-x} = 0, car l'exponentielle décroissante l'emporte sur toute puissance de x. Le produit x·e^{-x} tend donc vers 0 quand x tend vers +∞.

Question 2Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Quelle est la valeur de la dérivée de la fonction g(x)=ln(x²+1) sur ℝ ?

  1. 1/(x²+1)
  2. 2x/(x²+1)²
  3. 2x/(x²+1) Correct answer.
  4. 2x·ln(x²+1)

Explanation

On applique la règle de dérivation composée (ln u)' = u'/u avec u(x)=x²+1, dont la dérivée est 2x. On obtient donc g'(x)=2x/(x²+1).

Question 3Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans une urne contenant 3 boules rouges et 5 boules blanches indiscernables au toucher, on tire simultanément 2 boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

  1. 9/64
  2. 3/8
  3. 1/4
  4. 3/28 Correct answer.

Explanation

Le nombre total de tirages simultanés est C(8,2)=28 et le nombre de tirages de deux rouges est C(3,2)=3. La probabilité vaut donc 3/28, car les tirages simultanés sont équiprobables.

Question 4Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Quelle est la somme de la série ∑_{n≥0} (1/3)^n ?

  1. 3
  2. 3/2 Correct answer.
  3. 1/3
  4. +∞

Explanation

C'est une série géométrique de raison 1/3, avec |1/3|<1, donc convergente. Sa somme vaut 1/(1−1/3)=1/(2/3)=3/2.

Question 5Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f(x)=e^{2x}. Quelle est la primitive de f sur ℝ qui s'annule en 0 ?

  1. e^{2x}−1
  2. (e^{2x}−1)/2 Correct answer.
  3. e^{2x}/2
  4. 2e^{2x}−2

Explanation

Une primitive de e^{2x} est (1/2)e^{2x}+C. La condition F(0)=0 impose (1/2)+C=0, donc C=−1/2, d'où F(x)=(e^{2x}−1)/2.

Question 6Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans un espace vectoriel réel de dimension 3, deux vecteurs u et v sont non colinéaires. Que peut-on affirmer du sous-espace Vect(u,v) ?

  1. C'est l'espace tout entier de dimension 3
  2. C'est le sous-espace nul
  3. C'est une droite vectorielle de dimension 1
  4. C'est un plan vectoriel de dimension 2 Correct answer.

Explanation

Deux vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants, donc ils engendrent un sous-espace de dimension 2. Dans un espace de dimension 3, c'est un plan vectoriel.

Question 7Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La fonction f définie sur ℝ par f(x)=x³−3x admet sur ℝ :

  1. un maximum local en −1 et un minimum local en 1 Correct answer.
  2. un maximum global en 0
  3. un minimum local en −1 et un maximum local en 1
  4. aucun extremum local

Explanation

On calcule f'(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). La dérivée est positive hors de ]−1,1[ puis négative à l'intérieur, ce qui donne un maximum local en −1 et un minimum local en 1.

Question 8Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère la suite définie par u_0=1 et u_{n+1}=(u_n+2)/3. Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. 0
  2. 2/3
  3. 3
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Le point fixe vérifie ℓ=(ℓ+2)/3, soit 3ℓ=ℓ+2, donc ℓ=1. La suite est convergente car la transformation est contractante de rapport 1/3, et sa limite est ce point fixe.

Question 9Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑_{n≥1} x^n/n² ?

  1. 1 Correct answer.
  2. 2
  3. +∞
  4. 1/2

Explanation

On applique la règle de d'Alembert : le rapport des coefficients a_{n+1}/a_n tend vers 1, donc le rayon de convergence vaut R=1. La série converge en particulier pour |x|≤1.

Question 10Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A=[[2,1],[1,2]]. Quelles sont les valeurs propres de A ?

  1. 0 et 4
  2. −1 et 3
  3. 2 et 2
  4. 1 et 3 Correct answer.

Explanation

Le polynôme caractéristique est det(A−λI)=(2−λ)²−1=λ²−4λ+3, dont les racines sont 1 et 3. Ces deux valeurs sont bien réelles car A est symétrique réelle.

Question 11Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f(x)=x−ln(x) définie sur ]0,+∞[. Quelle est l'allure de f sur cet intervalle ?

  1. f est strictement croissante sur ]0,+∞[
  2. f admet un maximum global en x=1 valant 1
  3. f admet un minimum global en x=1 valant 1 Correct answer.
  4. f est strictement décroissante sur ]0,+∞[

Explanation

On a f'(x)=1−1/x=(x−1)/x, qui est négative sur ]0,1[ et positive sur ]1,+∞[. La fonction décroît puis croît, avec un minimum global f(1)=1.

Question 12Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à l'obtention du premier « pile ». Quelle est la probabilité que ce premier pile apparaisse au plus tard au troisième lancer ?

  1. 1/8
  2. 3/8
  3. 1/2
  4. 7/8 Correct answer.

Explanation

La loi du rang du premier succès est géométrique de paramètre 1/2. La probabilité cherchée vaut 1−P(échec aux trois premiers lancers)=1−(1/2)³=7/8.

Question 13Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x)=x sur ]−π,π[. Quel est le coefficient de Fourier a_0 de f ?

  1. 2π
  2. π
  3. π²/3
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Le coefficient a_0 est la valeur moyenne de f sur une période, soit (1/2π)∫_{−π}^{π} x dx. L'intégrale de la fonction impaire x sur un intervalle symétrique est nulle, donc a_0=0.

Question 14Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Quelle est la valeur de l'intégrale ∫_0^1 x e^{−x} dx ?

  1. 1−1/e
  2. 1−2/e Correct answer.
  3. 2/e−1
  4. 1/e

Explanation

On intègre par parties avec u=x et v'=e^{−x}, d'où ∫x e^{−x}dx=−x e^{−x}−e^{−x}. En évaluant entre 0 et 1, on obtient (−e^{−1}−e^{−1})−(−1)=1−2/e.

Question 15Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Laquelle de ces conditions est équivalente au fait que A est inversible ?

  1. Le noyau de A est réduit au vecteur nul Correct answer.
  2. Tous les coefficients de A sont non nuls
  3. La trace de A est non nulle
  4. La matrice A est symétrique

Explanation

Une matrice carrée est inversible si et seulement si l'application linéaire associée est injective, c'est-à-dire si son noyau est nul. Cette condition équivaut aussi à det(A)≠0.

Question 16Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère les suites u_n=1/n et v_n=(−1)^n/n. Que peut-on dire de la série ∑(u_n+v_n) ?

  1. Elle diverge car la série harmonique diverge
  2. On ne peut rien dire sans calcul supplémentaire
  3. Elle converge car u_n+v_n est le terme général d'une série absolument convergente Correct answer.
  4. Elle diverge car v_n ne tend pas vers 0

Explanation

On a |u_n+v_n|≤2/n² pour n≥1 en majorant chaque terme, et la série de terme général 1/n² converge. Par comparaison, la série est absolument convergente, donc convergente.

Question 17Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. Quelle est la loi de Y=−ln(X) ?

  1. La loi normale centrée réduite
  2. La loi uniforme sur [0,1]
  3. La loi de Poisson de paramètre 1
  4. La loi exponentielle de paramètre 1 Correct answer.

Explanation

Pour t≥0, P(Y≤t)=P(−ln X≤t)=P(X≥e^{−t})=1−e^{−t}. C'est la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre 1.

Question 18Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f(x)=e^{−1/x²} pour x≠0 et f(0)=0. Que peut-on dire de f en 0 ?

  1. f est dérivable une seule fois en 0
  2. f n'est pas continue en 0
  3. f est prolongeable et indéfiniment dérivable en 0, avec toutes ses dérivées nulles en 0 Correct answer.
  4. f est continue mais non dérivable en 0

Explanation

La fonction tend vers 0 quand x tend vers 0, donc elle est continue en 0. Toutes les dérivées successives tendent aussi vers 0 en 0, ce qui fait de f un exemple classique de fonction C∞ non développable en série entière en 0.

Question 19Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice réelle symétrique d'ordre 3 dont les valeurs propres sont 1, 2 et 3. Quelle est la valeur de la trace de A² ?

  1. 10
  2. 6
  3. 36
  4. 14 Correct answer.

Explanation

Les valeurs propres de A² sont les carrés des valeurs propres de A, soit 1, 4 et 9. La trace de A² est la somme de ces valeurs propres, donc 1+4+9=14.

Question 20Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=∫_0^x e^{−t²} dt. Que vaut f'(x) ?

  1. e^{−x²} Correct answer.
  2. −2x e^{−x²}
  3. ∫_0^x −2t e^{−t²} dt
  4. e^{−x²}−1

Explanation

Par le théorème fondamental du calcul intégral, la dérivée de x↦∫_0^x g(t)dt est g(x). Ici g(t)=e^{−t²}, donc f'(x)=e^{−x²}.

Question 21Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit (u_n) la suite définie par u_n=∑_{k=1}^n 1/k − ln(n). Que peut-on affirmer de (u_n) ?

  1. Elle converge vers une limite strictement comprise entre 0 et 1 Correct answer.
  2. Elle est périodique à partir d'un certain rang
  3. Elle diverge vers +∞
  4. Elle converge vers 0

Explanation

La suite est décroissante et minorée, car 1/k≥∫_k^{k+1}dt/t, donc elle converge. Sa limite est la constante d'Euler-Mascheroni γ≈0,577, qui appartient bien à ]0,1[.

Question 22Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit E un espace euclidien et p un projecteur orthogonal sur un sous-espace F de dimension k, avec dim E=n. Quelle est la trace de p ?

  1. 0
  2. n
  3. k Correct answer.
  4. n−k

Explanation

Un projecteur orthogonal sur F a pour valeurs propres 1 sur F (multiplicité k) et 0 sur l'orthogonal de F (multiplicité n−k). Sa trace est la somme des valeurs propres, soit k.

Question 23Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère la matrice M = [[1, 2], [0, 3]]. Quelle est la valeur de M² ?

  1. [[1, 6], [0, 9]]
  2. [[1, 8], [0, 9]] Correct answer.
  3. [[2, 8], [0, 6]]
  4. [[1, 4], [0, 9]]

Explanation

Le produit matriciel donne pour le coefficient (1,2) : 1×2 + 2×3 = 8, et les coefficients diagonaux valent 1 et 9. Le coefficient (2,1) reste nul car la matrice est triangulaire supérieure.

Question 24Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit z = 1 + i√3. Quel est le module de z ?

  1. 2 Correct answer.
  2. 4
  3. √3
  4. 1 + √3

Explanation

Le module se calcule par |z| = √(1² + (√3)²) = √(1+3) = √4 = 2. La forme trigonométrique associée est z = 2e^{iπ/3}.

Question 25Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x ln(x) − x ?

  1. ln(x) − 2
  2. x ln(x)
  3. 1 + ln(x)
  4. ln(x) Correct answer.

Explanation

On dérive x ln(x) en appliquant la règle du produit : ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1, puis la dérivée de −x vaut −1. La somme donne ln(x) + 1 − 1 = ln(x).

Question 26Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans ℝ³ muni du produit scalaire usuel, quel est le produit scalaire des vecteurs u = (1, 2, −1) et v = (3, 0, 2) ?

  1. −1
  2. 5
  3. 1 Correct answer.
  4. 3

Explanation

Le produit scalaire usuel vaut 1×3 + 2×0 + (−1)×2 = 3 + 0 − 2 = 1. Le résultat est un réel, non un vecteur.

Question 27Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère l'équation différentielle y' = 3y. Quelle est la forme générale de ses solutions sur ℝ ?

  1. y(x) = 3C x + C, C ∈ ℝ
  2. y(x) = C + 3x, C ∈ ℝ
  3. y(x) = C e^{−3x}, C ∈ ℝ
  4. y(x) = C e^{3x}, C ∈ ℝ Correct answer.

Explanation

L'équation y' = ay a pour solutions y(x) = C e^{ax} avec a = 3. La constante C est déterminée par une condition initiale éventuelle.

Question 28Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3. Quelle est son espérance E(X) ?

  1. 2,1
  2. 0,3
  3. 10
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Pour une loi binomiale, l'espérance vaut np = 10 × 0,3 = 3. La variance correspondante serait np(1−p) = 2,1.

Question 29Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Quelle est la valeur de la somme ∑_{k=0}^{n} q^k pour q ≠ 1 ?

  1. (1 − q^{n+1})/(1 − q) Correct answer.
  2. (n+1)q
  3. q^{n+1}/(1 − q)
  4. (1 − q^n)/(1 − q)

Explanation

La somme des termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 comporte n+1 termes de q^0 à q^n. La formule est (1 − q^{n+1})/(1 − q).

Question 30Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Sur quel intervalle la fonction f(x) = ln(x) est-elle définie ?

  1. ]−∞, 0[
  2. ℝ
  3. ]0, +∞[ Correct answer.
  4. [0, +∞[

Explanation

Le logarithme népérien n'est défini que pour des arguments strictement positifs, donc sur ]0, +∞[. En 0, la fonction tend vers −∞ mais n'y est pas définie.

Question 31Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A = [[0, 1], [1, 0]]. Quel est le polynôme caractéristique de A ?

  1. X² − 1 Correct answer.
  2. X² + 2X + 1
  3. X² + 1
  4. X² − 2X + 1

Explanation

On calcule det(A − XI) = det([[-X, 1], [1, −X]]) = X² − 1. Les valeurs propres de A sont donc 1 et −1.

Question 32Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x² + 1)/(x² + 2). Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. 1 Correct answer.
  2. +∞
  3. 0
  4. 1/2

Explanation

En factorisant par x² au numérateur et au dénominateur, f(x) = (1 + 1/x²)/(1 + 2/x²), qui tend vers 1/1 = 1. Les deux polynômes ayant même degré, la limite est le rapport des coefficients dominants.

Question 33Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère la série de terme général u_n = 1/(n² + n) pour n ≥ 1. Quelle est la nature de cette série ?

  1. Elle diverge car u_n est équivalent à 1/n²
  2. Elle converge et sa somme vaut 1/2
  3. Elle converge et sa somme vaut 1 Correct answer.
  4. Elle diverge car les termes ne tendent pas vers 0

Explanation

On décompose 1/(n² + n) = 1/n − 1/(n+1), ce qui donne une somme télescopique égale à 1 − 1/(N+1) pour la somme partielle d'ordre N. La limite vaut donc 1.

Question 34Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² + 1. Combien la courbe de f admet-elle de tangentes horizontales ?

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

On résout f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0, ce qui donne x = 0 et x = 2. Il y a donc deux points où la tangente est horizontale.

Question 35Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e^{−x²}. Quelle est la valeur de f'(1) ?

  1. 2e^{−1}
  2. e^{−1}
  3. −2e^{−1} Correct answer.
  4. −e^{−1}

Explanation

On dérive e^{−x²} en composant avec u(x) = −x² : f'(x) = −2x e^{−x²}. En x = 1, on obtient f'(1) = −2e^{−1}.

Question 36Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 cartes. Combien de tirages distincts peut-on obtenir ?

  1. 4960 Correct answer.
  2. 992
  3. 32³
  4. 29760

Explanation

Le tirage simultané correspond à une combinaison sans ordre : C(32,3) = 32×31×30/6 = 4960. L'ordre de tirage n'intervient pas.

Question 37Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée d'ordre 3 vérifiant A² = A et A ≠ I₃, A ≠ 0. Que peut-on affirmer sur les valeurs propres de A ?

  1. Elles appartiennent toutes à {0, 1} Correct answer.
  2. Elles sont toutes nulles
  3. Elles sont de module 1
  4. Elles sont toutes égales à 1

Explanation

Si λ est valeur propre de A associée à un vecteur x non nul, alors A²x = λ²x et Ax = λx donnent λ² = λ, donc λ ∈ {0, 1}. Comme A n'est ni nulle ni l'identité, les deux valeurs apparaissent.

Question 38Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ = 2. Quelle est la probabilité P(X > 1) ?

  1. 1 − e^{−2}
  2. e^{−2} Correct answer.
  3. 1/2
  4. e^{−1}

Explanation

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, P(X > t) = e^{−λt}. Ici, P(X > 1) = e^{−2}.

Question 39Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit u_n = (−1)^n + 1/n pour n ≥ 1. Que peut-on dire de la suite (u_n) ?

  1. Elle converge vers 1
  2. Elle tend vers +∞
  3. Elle converge vers 0
  4. Elle est bornée mais n'admet pas de limite Correct answer.

Explanation

La suite extraite des indices pairs tend vers 1 et celle des indices impairs tend vers −1. Les deux sous-suites ayant des limites différentes, la suite est bornée mais divergente.

Question 40Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = ∫_x^{2x} e^{−t²} dt. Quelle est la valeur de f'(x) ?

  1. e^{−4x²} − e^{−x²}
  2. 2e^{−x²} − e^{−4x²}
  3. 2e^{−4x²} − e^{−x²} Correct answer.
  4. e^{−2x²} − e^{−x²}

Explanation

On écrit f(x) = F(2x) − F(x) où F est une primitive de t ↦ e^{−t²}. La dérivation composée donne f'(x) = 2e^{−4x²} − e^{−x²}.

Question 41Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit E un ℝ-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Laquelle de ces conditions caractérise le fait que f est un automorphisme ?

  1. f est linéaire et admet un noyau non trivial
  2. f est linéaire, injective et E est de dimension finie Correct answer.
  3. f est linéaire et ker f = {0} seulement
  4. f est linéaire et son image est un sous-espace propre

Explanation

En dimension finie, pour un endomorphisme, l'injectivité équivaut à la bijectivité (théorème du rang). La condition « linéaire, injective, dimension finie » garantit donc un automorphisme.

Question 42Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Quelle est la valeur de l'intégrale ∫_0^{π/2} cos(x) sin(x) dx ?

  1. π/4
  2. 1
  3. 1/2 Correct answer.
  4. 0

Explanation

On remarque que cos(x) sin(x) = (1/2) sin(2x), dont une primitive est −(1/4) cos(2x). En évaluant entre 0 et π/2, on obtient (1/4)(1 + 1) = 1/2.

Question 43Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice réelle symétrique d'ordre 2 de trace 4 et de déterminant 3. Quelles sont ses valeurs propres ?

  1. −1 et 5
  2. 1 et 3 Correct answer.
  3. 2 et 2
  4. 4 et 3

Explanation

Les valeurs propres vérifient λ₁ + λ₂ = trace = 4 et λ₁λ₂ = det = 3. Les solutions de X² − 4X + 3 = 0 sont 1 et 3.

Question 44Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction 2π-périodique, paire, définie par f(x) = x² sur [0, π]. Que peut-on affirmer sur ses coefficients de Fourier b_n pour n ≥ 1 ?

  1. Tous les b_n sont nuls car f est impaire
  2. Les b_n valent 1/n pour tout n
  3. Les b_n sont tous égaux à a_n
  4. Tous les b_n sont nuls car f est paire Correct answer.

Explanation

Pour une fonction paire, le produit f(x) sin(nx) est impair, donc son intégrale sur un intervalle symétrique [−π, π] est nulle. Tous les coefficients b_n sont donc nuls.

Question 45Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit M = [[2, 1], [1, 2]]. Quelle est la matrice M^n pour n ≥ 1 ?

  1. M^n = [[2^n, 1], [1, 2^n]]
  2. M^n = [[3^n, 0], [0, 1]]
  3. M^n = 3^n I₂
  4. On diagonalise M dans une base de vecteurs propres et on obtient M^n = (1/2)[[3^n + 1, 3^n − 1], [3^n − 1, 3^n + 1]] Correct answer.

Explanation

Les valeurs propres de M sont 1 et 3, avec des vecteurs propres (1, −1) et (1, 1). En écrivant M = PDP^{−1} avec P orthogonale, on obtient la formule proposée, qui redonne bien M pour n = 1.

Question 46Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit (u_n) une suite réelle telle que la série ∑ u_n converge absolument. Que peut-on affirmer sur la série ∑ u_n² ?

  1. Elle diverge en général
  2. Elle converge, car u_n tend vers 0 et u_n² ≤ |u_n| pour n assez grand Correct answer.
  3. Elle converge seulement si u_n ≥ 0
  4. Elle converge absolument mais pas simplement

Explanation

La convergence absolue de ∑ u_n implique u_n → 0, donc |u_n| ≤ 1 à partir d'un certain rang. Alors u_n² ≤ |u_n|, et par comparaison de séries à termes positifs, ∑ u_n² converge.

Question 47Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = ∫_0^x e^{−t²} dt. Que peut-on affirmer sur f ?

  1. f est paire et croissante sur [0, +∞[
  2. f est constante car l'intégrande est paire
  3. f est impaire et décroissante sur ℝ
  4. f est impaire et strictement croissante sur ℝ Correct answer.

Explanation

La fonction t ↦ e^{−t²} est paire, donc son intégrale sur un intervalle symétrique est nulle : f(−x) = −f(x), f est impaire. Sa dérivée f'(x) = e^{−x²} > 0, donc f est strictement croissante.

Question 48Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit z un nombre complexe de module 1, écrit sous la forme z = e^{iθ} avec θ ∈ ℝ. À quoi est égal le conjugué de z ?

  1. e^{iθ}
  2. e^{−iθ} Correct answer.
  3. e^{i(θ+π)}
  4. −e^{iθ}

Explanation

Pour z = e^{iθ} = cos θ + i sin θ, le conjugué change le signe de la partie imaginaire, donc ̅z = cos θ − i sin θ = e^{−iθ}. Comme |z| = 1, on a aussi ̅z = 1/z.

Question 49Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère la matrice B = [[1, 2], [0, 3]]. Quelle est la valeur de det(B) ?

  1. 1
  2. 6
  3. 5
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Pour une matrice triangulaire, le déterminant est le produit des coefficients diagonaux. Ici det(B) = 1 × 3 − 2 × 0 = 3.

Question 50Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [2, 6]. Quelle est la valeur de l'espérance E(X) ?

  1. 3
  2. 8
  3. 2
  4. 4 Correct answer.

Explanation

Pour une loi uniforme sur [a, b], l'espérance vaut (a + b)/2. Ici (2 + 6)/2 = 4, qui est aussi le centre de l'intervalle.