Mathématiques : analyse, algèbre et probabilités
Ce que teste l’épreuve
L’épreuve de mathématiques du concours e3a-Polytech est un problème long, souvent de quatre heures, découpé en parties liées. Selon la filière, elle couvre l’analyse (suites, séries, intégrales, équations différentielles), l’algèbre (espaces vectoriels, matrices, déterminants, réduction) et les probabilités (variables aléatoires, lois usuelles, convergences). Le style e3a privilégie le calcul explicite et l’enchaînement : un résultat admis à une question sert aux suivantes, et la justification des hypothèses compte autant que la valeur finale.
Règles et concepts clés
- Convergence d’une suite : monotonie et bornitude, ou encadrement ; pour une série, critère de comparaison, équivalent positif, ou critère spécial des séries alternées.
- Intégrale à paramètre : vérifier continuité, domination ou convergence monotone avant de dériver ou de passer à la limite.
- Réduction : une matrice n’est diagonalisable que si son polynôme caractéristique est scindé et si chaque sous-espace propre atteint la multiplicité algébrique ; inversible ne signifie pas diagonalisable.
- Probabilités : écrire les événements avec ∩ et ∪, justifier l’indépendance avant de multiplier, et utiliser Var(X)=E(X²)−E(X)².
Exemple travaillé
On pose I_n = ∫0^1 x^n/(1+x) dx. Pour n≥0, 0≤I_n≤∫0^1 x^n dx=1/(n+1), donc I_n→0. Pour n≥1, x^n/(1+x)=x^{n−1}−x^{n−1}/(1+x), d’où I_n+I{n−1}=∫0^1 x^{n−1}dx=1/n. En multipliant par n : nI_n+nI{n−1}=1. Comme I{n−1}→0, nI_n→1, donc I_n∼1/n. Le calcul est court ; la difficulté réside dans la justification de la limite et l’exploitation cohérente de la récurrence.
Pièges qui coûtent des points
- Remplacer une somme par un équivalent sans justification.
- Oublier les cas n=0 ou les bornes ouvertes.
- Confondre convergence de la série et convergence du terme général.
- Affirmer « diagonalisable car les valeurs propres sont distinctes » sans le vérifier.
- Donner une probabilité sans décrire l’univers ni normaliser.
Rédaction attendue
Posez les hypothèses avant chaque théorème, nommez les théorèmes utilisés et concluez par une phrase répondant exactement à la question. Un résultat numérique sans unité ou sans domaine de validité est souvent sanctionné.