Hlađenje čaja i eksponencijalni model
U školskom laboratoriju učenici prate hlađenje čaja. Sobna temperatura je 22 °C, početna temperatura čaja 90 °C. Prema mjerenjima svakih 10 minuta odabran je model T(t)=22+68·0,92^t, gdje je t vrijeme u minutama, a T temperatura u °C. Mjerenja su: t=0, T=90; t=10, T≈51,5; t=20, T≈34,8. Učenici žele znati kada će čaj biti na 60 °C (prikladno za degustaciju), a kada prvi put pasti ispod 30 °C. Nastavnica upozorava da model vrijedi samo dok je čaj u istoj šalici i dok se ne mijenjaju uvjeti te da se ne smije linearno ekstrapolirati na cijeli sat. Jedan učenik tvrdi da će se čaj ohladiti na 22 °C nakon približno 45 minuta jer se 'svakih 10 minuta ohladi za oko 38,5 °C, 16,7 °C i 7,2 °C'. Potrebno je provjeriti tu tvrdnju, izračunati tražena vremena i objasniti što model predviđa u dugom roku.
1. Odredi kada je T=60 °C i kada T prvi put padne ispod 30 °C. Koristi logaritme, zaokruži na minute i provjeri smislenost.
Read the worked answer
Za 60: 60=22+68·0,92^t ⇒ 38=68·0,92^t ⇒ 0,92^t=38/68=0,55882. t=ln(0,55882)/ln(0,92)=(-0,5817)/(-0,08338)≈6,98 min, približno 7 min. Provjera: T(7)=22+68·0,92^7≈22+68·0,558≈59,9 °C. Za 30: 30=22+68·0,92^t ⇒ 0,92^t=8/68=0,11765. t=ln(0,11765)/ln(0,92)=(-2,140)/(-0,08338)≈25,66 min. Prvi cijeli broj minuta nakon kojeg je T<30 je 26 min; T(26)≈29,5 °C. Dakle čaj je na 60 °C nakon približno 7 min, a ispod 30 °C prvi put nakon približno 26 min.
2. Izračunaj prosječnu brzinu hlađenja između t=10 i t=20. Usporedi je s nizom 'svakih 10 minuta: 38,5 °C, 16,7 °C i 7,2 °C' i objasni što taj niz pokazuje.
Read the worked answer
T(10)=22+68·0,92^10≈51,5 °C, T(20)≈34,8 °C. Promjena je 34,8-51,5=-16,7 °C u 10 min, pa je prosječna brzina -1,67 °C/min. Niz padova nije stalan: od 0 do 10 min pad je oko 90-51,5=38,5 °C, od 10 do 20 oko 16,7 °C, od 20 do 30 oko 34,8-27,6=7,2 °C. Općenito se pad smanjuje kako se čaj približava sobnoj temperaturi; to je svojstvo eksponencijalnog modela, ne linearnog. Zato nije ispravno zaključiti da će se svakih 10 minuta temperatura smanjivati za isti iznos.
3. Učenik tvrdi da će nakon 45 minuta čaj biti na 22 °C. Izračunaj T(45) i objasni što model predviđa za t→∞. Zašto linearna ekstrapolacija nije prikladna?
Read the worked answer
T(45)=22+68·0,92^45. Vrijedi 0,92^45≈0,0235, pa je T(45)≈22+1,60=23,6 °C. To nije 22 °C. Model je eksponencijalni pristup: kako t raste, 0,92^t→0, pa T(t)→22 °C, ali sobnu temperaturu dostiže samo u granici, ne u konačnom vremenu. Linearna ekstrapolacija na temelju prvih padova precijenila bi hlađenje jer se padovi smanjuju. Osim toga, izvan mjerenog intervala mogu se promijeniti uvjeti (šalica, strujanje zraka), pa model treba shvatiti kao približan unutar razumnog vremena.