Državna Matura Math B flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Diskriminanta kvadratne jednadžbe

Izraz D = b² − 4ac za jednadžbu ax² + bx + c = 0. Ako je D > 0, postoje dva različita realna rješenja; D = 0 daje jedno dvostruko rješenje; D < 0 znači da nema realnih rješenja.

Vieteove veze

Za rješenja x₁ i x₂ jednadžbe ax² + bx + c = 0 vrijedi x₁ + x₂ = −b/a i x₁·x₂ = c/a. Omogućuju računanje zbroja i umnoška bez rješavanja jednadžbe.

Pravilo logaritma umnoška

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama: log_a(x·y) = log_a x + log_a y, uz x > 0, y > 0, a > 0 i a ≠ 1. Analogno, logaritam kvocijenta je razlika logaritama.

Apsolutna vrijednost i korijen

Za svaki realni broj x vrijedi √(x²) = |x|, a ne x. Zato se kod rješavanja iracionalnih jednadžbi kvadriranjem dobivena rješenja moraju provjeriti uvrštavanjem u početnu jednadžbu.

Domena racionalne funkcije

Skup svih realnih brojeva za koje nazivnik nije jednak nuli. Primjerice, za f(x) = 1/(x − 3) domena je R \ {3}, jer uvrštavanje x = 3 daje dijeljenje nulom.

Tjeme parabole

Točka ekstrema parabole f(x) = ax² + bx + c ima apscisu x = −b/(2a). Za a > 0 to je minimum, a za a < 0 maksimum; ordinata se dobije uvrštavanjem te apscise u funkciju.

Inverzna funkcija

Funkcija f⁻¹ poništava djelovanje funkcije f: vrijedi f(f⁻¹(x)) = x i f⁻¹(f(x)) = x na odgovarajućim domenama. Grafovi funkcije i njezine inverzne funkcije simetrični su s obzirom na pravac y = x.

Transformacija grafa f(x + c)

Zamjena x s x + c pomiče graf funkcije f za c jedinica ulijevo kada je c > 0, odnosno udesno kada je c < 0. Pomak je po x-osi i suprotnog je predznaka od c.

Eksponencijalna funkcija

Funkcija oblika f(x) = a^x, gdje je a > 0 i a ≠ 1. Prolazi kroz točku (0, 1), raste za a > 1, pada za 0 < a < 1, a pravac y = 0 njezina je horizontalna asimptota.

Poučak o kosinusu

U trokutu s kutom γ između stranica a i b vrijedi c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Poučak omogućuje računanje treće stranice iz dviju stranica i kuta među njima.

Poučak o sinusu

U trokutu vrijedi a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, gdje je R polumjer opisane kružnice. Omjer stranice i sinusa nasuprotnog kuta stalan je za sve tri stranice.

Površina kružnog isječka

Isječak kružnice polumjera r i središnjeg kuta α u stupnjevima ima površinu P = (α/360)·r²π, a duljina pripadnog luka iznosi l = (α/360)·2rπ.

Volumen i oplošje kugle

Kugla polumjera r ima volumen V = (4/3)r³π i oplošje O = 4r²π. Oplošje kugle jednako je površini četiriju velikih kružnica.

Omjeri kod sličnosti

Ako su dva lika slična s koeficijentom k, omjer duljina je k, omjer površina k², a omjer volumena k³. Primjerice, udvostručenje duljina učetverostručuje površinu.

Udaljenost dviju točaka

Udaljenost točaka A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂) u koordinatnoj ravnini iznosi d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Formula proizlazi iz Pitagorina poučka na razlikama koordinata.

Aritmetički niz

Niz u kojem je razlika uzastopnih članova stalna: a_n = a₁ + (n − 1)d. Suma prvih n članova iznosi S_n = (n/2)(a₁ + a_n).

Geometrijski niz

Niz u kojem je kvocijent uzastopnih članova stalan: a_n = a₁·q^(n−1). Suma prvih n članova je S_n = a₁(q^n − 1)/(q − 1) za q ≠ 1.

Složeno ukamaćivanje

Glavnica G uz godišnju stopu p% nakon n godina naraste na G·(1 + p/100)^n. Kamate se svake godine obračunavaju i na prethodno obračunate kamate.

Sadašnja vrijednost iznosa

Sadašnja vrijednost budućeg iznosa C_n nakon n razdoblja uz stopu p% iznosi G = C_n/(1 + p/100)^n. Postupak se naziva diskontiranje i služi usporedbi iznosa u različitim vremenima.

Formula anuiteta

Rata otplate kredita glavnice G uz kamatnu stopu i po razdoblju i n razdoblja iznosi r = G·i/(1 − (1 + i)^(−n)). Rata je jednaka u svakom razdoblju.

Medijan i mod

Medijan je srednja vrijednost uređenih podataka; za paran broj podataka to je prosjek dvaju srednjih. Mod je vrijednost koja se pojavljuje najčešće i može ih biti više.

Interkvartilni raspon

IQR = Q₃ − Q₁, razlika trećeg i prvog kvartila, mjeri rasipanje srednjih 50 % podataka. Vrijednosti ispod Q₁ − 1,5·IQR ili iznad Q₃ + 1,5·IQR smatraju se izuzecima.

Standardna devijacija

Drugi korijen varijance: σ = √(Σ(x_i − x̄)²/n). Izražena je u istim jedinicama kao podaci, a veća vrijednost znači veće rasipanje oko aritmetičke sredine.

Vjerojatnost komplementa

Za događaj A i njegov komplement A' vrijedi P(A') = 1 − P(A). Pravilo je korisno kada je lakše izračunati vjerojatnost da se događaj ne dogodi.

Uvjetna vjerojatnost

Vjerojatnost događaja A ako se zna da se dogodio B iznosi P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), uz P(B) > 0. Događaji su nezavisni ako je P(A|B) = P(A).

Kombinacije bez ponavljanja

Broj načina izbora k elemenata iz skupa od n elemenata kada redoslijed nije bitan iznosi C(n,k) = n!/(k!(n−k)!). Za razliku od varijacija, poredak odabranih elemenata ne razlikuje izbore.

Formula uključivanja i isključivanja

Za konačne skupove vrijedi |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Zbroj veličina prebrojava elemente presjeka dvaput, pa se njihov broj mora oduzeti jednom.

De Morganovi zakoni

Komplement unije jednak je presjeku komplementa: (A ∪ B)' = A' ∩ B'. Analogno vrijedi (A ∩ B)' = A' ∪ B'. Zakoni vrijede unutar zadanog univerzalnog skupa.

Kontrapozicija implikacije

Implikacija p ⇒ q logički je ekvivalentna implikaciji ¬q ⇒ ¬p. Ta se druga implikacija naziva kontrapozicijom i često je lakše dokazati od polazne tvrdnje.

Negacija kvantifikatora

Negacija tvrdnje ∀x P(x) jest ∃x ¬P(x), a negacija tvrdnje ∃x P(x) jest ∀x ¬P(x). Kvantifikator se pri negaciji zamjenjuje suprotnim, a unutarnja tvrdnja negira.

Matematička indukcija

Dokaz se sastoji od baze, provjere tvrdnje za prvi prirodni broj, i koraka: iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi za n = k dokazuje se da vrijedi za n = k + 1.

Protuprimjer

Pojedinačni slučaj koji zadovoljava pretpostavke tvrdnje, ali ne i njezin zaključak. Jedan protuprimjer dovoljan je da se opovrgne opća tvrdnja oblika ∀x P(x).