Državna Matura Math B cheat sheet

Za realne brojeve vrijedi |a·b| = |a|·|b| i |a/b| = |a|/|b| za b ≠ 0; nejednakost |x| < r znači −r < x < r, a |x| > r znači x < −r ili x > r.

Pravila potencija: a^m·a^n = a^(m+n), a^m/a^n = a^(m−n), (a^m)^n = a^(mn), a^(−n) = 1/a^n, a^(1/n) = n-ti korijen od a za a ≥ 0.

Logaritmi: log_a(xy) = log_a x + log_a y, log_a(x/y) = log_a x − log_a y, log_a(x^k) = k·log_a x, log_a b = ln b / ln a; domena je x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Kvadratna jednadžba ax² + bx + c = 0: rješenja x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a); diskriminanta D = b² − 4ac daje dva realna rješenja za D > 0, jedno za D = 0, nijedno realno za D < 0.

Vieteove veze: x₁ + x₂ = −b/a i x₁·x₂ = c/a; faktorizacija ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Racionalni izrazi: nazivnik nikad nije nula; kod jednadžbi s razlomcima pomnoži s najmanjim zajedničkim nazivnikom i obavezno provjeri uvjete.

Apsolutna vrijednost i korijeni: √(x²) = |x|, a ne x; kod iracionalnih jednadžbi provjeri rješenja uvrštavanjem jer kvadriranje može uvesti lažna rješenja.

Binomni poučak: (a + b)^n = Σ C(n,k)·a^(n−k)·b^k, gdje je C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) i vrijedi C(n,k) = C(n, n−k).

Domena funkcije: nazivnik ≠ 0, parni korijen ≥ 0, argument logaritma > 0; slika se traži iz izraza ili grafa.

Linearna funkcija f(x) = kx + l ima nagib k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); paralelni pravci imaju jednak k, okomiti umnožak nagiba −1.

Tjeme parabole f(x) = ax² + bx + c je u x = −b/(2a); za a > 0 parabola otvara gore i tjeme je minimum, za a < 0 otvara dolje i tjeme je maksimum.

Eksponencijalna funkcija f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) prolazi kroz (0,1); raste za a > 1, pada za 0 < a < 1, asimptota je y = 0.

Logaritamska funkcija f(x) = log_a x inverz je eksponencijalne; grafovi inverznih funkcija simetrični su s obzirom na pravac y = x.

Transformacije grafa: f(x) + c pomiče graf za c po y-osi, f(x + c) po x-osi (lijevo za c > 0), −f(x) zrcali po x-osi, f(−x) po y-osi.

Složena funkcija (f ∘ g)(x) = f(g(x)); domena zahtijeva da g(x) pripada domeni funkcije f.

Nultočka funkcije je rješenje f(x) = 0; predznak funkcije između nultočaka određuje se uvrštavanjem jedne točke ili čitanjem s grafa.

Trokut: zbroj kutova 180°; poučak o kosinusu c² = a² + b² − 2ab·cos γ; poučak o sinusu a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R.

Površina trokuta: P = (a·v_a)/2 = (1/2)ab·sin γ; Heronova formula P = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) uz s = (a+b+c)/2.

Pravokutni trokut: Pitagorin poučak a² + b² = c²; sin α = nasuprotna/hipotenuza, cos α = priležeća/hipotenuza, tan α = nasuprotna/priležeća.

Kružnica: opseg O = 2rπ, površina P = r²π; kružni isječak s kutom α u stupnjevima ima luk l = (α/360)·2rπ i površinu P = (α/360)·r²π.

Volumen i oplošje: valjak V = r²π·h, O = 2r²π + 2rπh; stožac V = (1/3)r²π·h, O = r²π + rπs; kugla V = (4/3)r³π, O = 4r²π.

Prizma i piramida: V = B·h za prizmu i valjak, V = (B·h)/3 za piramidu i stožac, gdje je B površina baze.

Sličnost: omjer površina sličnih likova je k², omjer volumena k³, gdje je k omjer duljina; Talesov poučak daje razmjere odsječaka na krakovima.

Koordinatna geometrija: udaljenost d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), polovište M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2), kružnica (x−p)² + (y−q)² = r².

Aritmetički niz: a_n = a₁ + (n−1)d, suma S_n = (n/2)(2a₁ + (n−1)d) = (n/2)(a₁ + a_n).

Geometrijski niz: a_n = a₁·q^(n−1), suma S_n = a₁(q^n − 1)/(q − 1) za q ≠ 1; beskonačna suma konvergira samo za |q| < 1 i iznosi a₁/(1 − q).

Jednostavno ukamaćivanje: kamate se računaju samo na glavnicu, C = G·p·t/100; konačni iznos G + C.

Složeno ukamaćivanje: C_n = G·(1 + p/100)^n; kod k puta godišnje kamatne stope p koristi se G·(1 + p/(100k))^(nk).

Sadašnja vrijednost: G = C_n / (1 + p/100)^n; diskontiranje se koristi za usporedbu iznosa u različitim vremenima.

Anuiteti: rata kredita r = G·i/(1 − (1 + i)^(−n)), gdje je i = p/100 kamatna stopa po razdoblju, a n broj razdoblja.

Modeliranje: linearni rast ima stalnu razliku, eksponencijalni stalni omjer; kod pada vrijednosti koristi se faktor (1 − p/100)^n.

Postotni račun: povećanje za p% daje faktor (1 + p/100), smanjenje faktor (1 − p/100); uzastopne promjene množe se faktorima.

Aritmetička sredina x̄ = (Σx_i)/n; medijan je srednja vrijednost uređenih podataka (za paran n prosjek dvaju srednjih), mod je najčešća vrijednost.

Kvartili: Q₁ i Q₃ dijele uređene podatke na četvrtine; interkvartilni raspon IQR = Q₃ − Q₁, a podaci izvan Q₁ − 1,5·IQR i Q₃ + 1,5·IQR smatraju se izuzecima.

Varijanca i standardna devijacija: σ² = Σ(x_i − x̄)²/n, σ = √σ²; veća devijacija znači veće rasipanje oko sredine.

Vjerojatnost događaja P(A) = broj povoljnih ishoda / broj svih jednako vjerojatnih ishoda; vrijedi 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Komplement: P(A') = 1 − P(A); unija: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); za nezavisne događaje P(A ∩ B) = P(A)·P(B).

Uvjetna vjerojatnost: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) za P(B) > 0; događaji su nezavisni ako je P(A|B) = P(A).

Kombinatorika: permutacije n!, varijacije bez ponavljanja n!/(n−k)!, kombinacije C(n,k) = n!/(k!(n−k)!); kod kombinacija redoslijed nije bitan.

Grafički prikazi: histogram prikazuje razdiobu frekvencija po razredima, kut kružnog dijela = (frekvencija/ukupno)·360°.

Skupovne operacije: A ∪ B sadrži elemente u A ili B, A ∩ B one u oba, A \ B one u A koji nisu u B; vrijedi |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Podskup: A ⊆ B znači da je svaki element od A u B; komplement A' unutar univerzalnog skupa U je U \ A.

De Morganovi zakoni: (A ∪ B)' = A' ∩ B' i (A ∩ B)' = A' ∪ B'.

Implikacija p ⇒ q ekvivalentna je kontrapoziciji ¬q ⇒ ¬p; obrat q ⇒ p nije ekvivalentan implikaciji.

Kvantifikatori: ∀ znači za svaki, ∃ znači postoji; negacija od ∀x P(x) jest ∃x ¬P(x), a negacija od ∃x P(x) jest ∀x ¬P(x).

Direktni dokaz polazi od pretpostavki i nizom valjanih koraka dolazi do tvrdnje; dokaz kontradikcijom pretpostavlja negaciju tvrdnje i izvodi proturječje.

Matematička indukcija: baza (tvrdnja za n = 1 ili prvi n), zatim korak pretpostavke za n = k i dokaz za n = k + 1.

Protuprimjer obara tvrdnju oblika ∀x P(x); jedna tvrdnja ne dokazuje opću tvrdnju, ali jedan protuprimjer je opovrgava.