Anketa o snu i uspjehu iz matematike
Na maturi B iz matematike škola je provela anketu među 240 učenika o prosječnom snu noću prije ispita i uspjehu na ispitu. Među 150 učenika prvog razreda, 30 je spavalo manje od 7 sati i od njih je 12 položilo ispit; 120 je spavalo najmanje 7 sati i od njih je 84 položilo. Među 90 učenika četvrtog razreda, 80 je spavalo manje od 7 sati i od njih je 71 položio; 10 je spavalo najmanje 7 sati i od njih je 9 položilo. U ukupnom uzorku, dakle, 110 učenika je spavalo manje od 7 sati, a 130 najmanje 7 sati. Novinar je objavio naslov 'Manje sna – bolji rezultat' jer je ukupni postotak prolaznosti među kratko spavajućima viši. Ravnatelj smatra da je zaključak pogrešan i traži objašnjenje koje uvažava razred. Potrebno je izračunati uvjetne vjerojatnosti, usporediti skupine i ocijeniti naslov.
1. Izračunaj P(položio | manje od 7 h) i P(položio | najmanje 7 h) za cijeli uzorak te za svaki razred. Prikaži postotke na jednu decimalu.
Read the worked answer
Cijeli uzorak: manje od 7 h: 12+71=83 od 30+80=110, pa je 83/110=0,7545=75,5%. Najmanje 7 h: 84+9=93 od 120+10=130, pa je 93/130=0,7154=71,5%. Prvi razred: manje od 7 h: 12/30=0,400=40,0%; najmanje 7 h: 84/120=0,700=70,0%. Četvrti razred: manje od 7 h: 71/80=0,8875=88,8%; najmanje 7 h: 9/10=0,900=90,0%. U svakom razredu manje spavajući imaju nižu prolaznost, ali u ukupnom uzorku manje spavajući imaju višu.
2. Objasni kako je moguće da se smjer usporedbe promijeni. Koji je zbunjujući faktor i zašto naslov 'Manje sna – bolji rezultat' nije valjan kauzalni zaključak?
Read the worked answer
Radi se o Simpsonovu paradoksu. Razred je zbunjujući faktor: među manje spavajućima 80/110=72,7% su četvrtaši, a među onima koji spavaju najmanje 7 h samo 10/130=7,7% su četvrtaši. Četvrtaši imaju znatno višu ukupnu prolaznost (80/90=88,9%) od prvaša (96/150=64,0%). Zato se u ukupnom uzorku skupina 'manje sna' sastoji većim dijelom od učenika višeg razreda, koji ionako bolje prolaze. Unutar istog razreda manje sna povezano je s nižom prolaznošću. Anketa je promatračka; ne dokazuje uzrok. Naslov pojednostavljuje i može dovesti do pogrešnog zaključka.
3. Slučajno je odabran učenik koji je položio. Kolika je vjerojatnost da je spavao manje od 7 h? Usporedi s P(manje od 7 h) u cijelom uzorku i komentiraj.
Read the worked answer
Položilo je 176 učenika. Manje od 7 h i položio je 83, pa je P(<7 | položio)=83/176=0,4716=47,2%. Bez uvjeta je P(<7)=110/240=0,4583=45,8%. Razlika je oko 1,3 postotna boda. To je posljedica većeg udjela četvrtaša među manje spavajućima, a ne dokaza da manje sna poboljšava rezultat. Uvjetovanje na položeni ispit ne uklanja zbunjujući utjecaj razreda.