Brojevi i algebra
Ovaj dio ispituje računanje s realnim brojevima, potencijama, korijenima i logaritmima te sigurno preoblikovanje algebarskih izraza. Pojavljuju se linearne i kvadratne jednadžbe, nejednadžbe, sustavi, apsolutna vrijednost i, na višoj razini, kompleksni brojevi. Bodovi se gube kad se formula primijeni bez provjere uvjeta. Ispit ne traži samo konačan rezultat, nego i provjerljiv postupak.
Pravila koja treba znati
- Potencije: a^m a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(mn), a^(−n) = 1/a^n, a^(m/n) = ⁿ√(a^m).
- Logaritmi: logₐ(xy)=logₐx+logₐy, logₐ(x/y)=logₐx−logₐy, logₐxⁿ=n logₐx, uz x,y>0, a>0, a≠1.
- Kvadratna jednadžba ax²+bx+c=0: x₁,₂=(−b±√(b²−4ac))/(2a); Vieteove veze x₁+x₂=−b/a, x₁x₂=c/a.
- Nejednadžba: množenje ili dijeljenje negativnim brojem mijenja znak nejednakosti.
- |x|=a daje x=a ili x=−a za a≥0.
- Racionalizacija nazivnika: 1/√a = √a/a; za kompleksni nazivnik z=a+bi množi se konjugatom z̄=a−bi.
Riješeni primjer
Riješimo log₂(x−1)+log₂(x+3)=3. Uvjeti: x−1>0 i x+3>0, dakle x>1. Zbroj logaritama je log₂((x−1)(x+3))=3, pa (x−1)(x+3)=2³=8. Slijedi x²+2x−3=8, x²+2x−11=0. Rješenja su x=−1±2√3. Prvo je x=−1−2√3<1 i otpada, a drugo x=−1+2√3≈2,46 zadovoljava uvjet. Rješenje je samo x=−1+2√3.
Zamke
Najčešće se zaboravi domena logaritma ili se nakon kvadriranja ne provjere lažna rješenja. Kod nejednadžbi se pogrešno promijeni znak, a kod razlomaka se izgubi uvjet nazivnika različitog od nule. Kompleksni brojevi traže dosljednu upotrebu i²=−1, ne poistovjećivanje s realnim korijenom. Kod eksponencijalnih jednadžbi s različitim bazama pomaže svođenje na istu bazu ili logaritmiranje.