Funkcije
Ovaj dio provjerava razumijevanje funkcija kao odnosa među veličinama: domenu, kodomenu, sliku, injektivnost, inverz, kompoziciju i graf. Ispit traži linearne, kvadratne, eksponencijalne i logaritamske funkcije, transformacije grafa te rješavanje jednadžbi i nejednadžbi pomoću funkcija.
Ključni pojmovi
- Domena je skup dopuštenih ulaza; za razlomak nazivnik nije nula, za paran korijen radikand je nenegativan, za logaritam argument je pozitivan.
- Inverzna funkcija f⁻¹ postoji ako je f bijekcija; vrijedi f(f⁻¹(x))=x i grafovi su simetrični obzirom na pravac y=x.
- Transformacije: f(x−h) pomiče graf udesno za h, a·f(x) rasteže okomito, f(−x) zrcali obzirom na os y.
- Kvadratna funkcija f(x)=ax²+bx+c ima tjeme x=−b/(2a); predznak a određuje otvorenost parabole.
- Eksponencijalna aˣ i logaritamska logₐx su inverzne; vrijedi a^(logₐx)=x za x>0.
Riješeni primjer
Zadana je f(x)=log₂(x−1)+1. Nađimo inverz. Napišimo y=log₂(x−1)+1, pa y−1=log₂(x−1). Po definiciji logaritma x−1=2^(y−1), dakle x=2^(y−1)+1. Zamjenom oznaka dobijemo f⁻¹(x)=2^(x−1)+1. Domena od f je x>1, a slika svi realni brojevi; zato je domena inverza cijeli ℝ, a slika x>1. Provjera: f(5)=log₂4+1=3, a f⁻¹(3)=2²+1=5.
Zamke
Najviše se griješi kod domene: kandidati napišu inverz, a ne provjere uvjete. Kod transformacija se zamijeni smjer pomaka ili se zaboravi da −x djeluje unutar argumenta. Kod logaritamskih jednadžbi treba odbaciti rješenja izvan domene. Graf ne dokazuje bijektivnost bez provjere horizontalnog testa.