Nizovi
Ovaj dio ispituje aritmetičke i geometrijske nizove, njihove opće članove, rekurzije i zbrojeve. Traži se i prepoznavanje niza iz opisa, računanje nepoznatog člana ili zbroja te primjena granične vrijednosti kod beskonačnog geometrijskog niza. Formula se bira prema tome je li razlika stalna ili je stalni omjer.
Pravila
- Aritmetički niz: aₙ=a₁+(n−1)d, Sₙ=n/2(2a₁+(n−1)d)=n/2(a₁+aₙ).
- Geometrijski niz: aₙ=a₁q^(n−1), Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1) za q≠1.
- Beskonačni geometrijski red konvergira za |q|<1 i tada je S=a₁/(1−q).
- Rekurzivni zapis poput aₙ₊₁=aₙ+d ili aₙ₊₁=q aₙ treba pretvoriti u eksplicitni oblik kad se traži daleki član.
- Indeks niza je prirodni broj; a₁ je prvi član, a a₀ nije dio standardnog zapisa.
- Kod aritmetičkog niza svaki je član osim prvog aritmetička sredina susjednih članova.
Riješeni primjer
U aritmetičkom nizu vrijedi a₃=11 i a₈=26. Razlika je d=(26−11)/(8−3)=15/5=3. Prvi član dobijemo iz a₃=a₁+2d: 11=a₁+6, pa a₁=5. Zbroj prvih 20 članova je S₂₀=20/2(2·5+19·3)=10(10+57)=670. Provjera: a₂₀=5+19·3=62, pa je S₂₀=10(5+62)=670.
Zamke
Najčešća pogreška je indeksiranje: a₃ sadrži dva koraka razlike, ne tri. Kod geometrijskog niza negativni ili razlomljeni q mijenja predznake i smjer niza, a formula za zbroj vrijedi samo za q≠1. Kod beskonačnog reda obavezno provjeriti |q|<1; inače zbroj ne postoji. Kod zbroja prvih n članova provjeri je li n jednak broju članova, a ne indeksu posljednjeg člana.