Teraszburkolás: hány doboz csempe kell, és melyik üzletből?
Egy családi ház teraszát újrameszelik. A terasz téglalap alakú; a két oldalt egy 5 méteres mérőszalaggal mérték meg, és az eredményt 0,1 méterre kerekítették: 5,6 m hosszú és 4,2 m széles. A mérőszalag pontatlansága miatt mindkét adat legfeljebb ±3 cm-rel térhet el a valóságtól. A kiválasztott csempe 30 cm × 30 cm-es, a burkoló a vágások miatt 10% ráhagyást kér, és a csempét 12 darabos dobozban árulják. Az A üzletben egy doboz 4990 Ft, 20 doboz felett 15% kedvezményt adnak, a meg nem bontott dobozokat pedig visszaveszik. A B üzletben ugyanaz a csempe 4200 Ft dobozonként, kedvezmény nincs, és visszaváltás sincs. A megrendelés előtt el kell dönteni, hány dobozt érdemes venni és melyik üzletből; a burkoló csak egész dobozokkal dolgozik, és a munka akkor sem állhat meg, ha a terasz a mérés felső határán van.
1. Hány doboz csempére van szükség a névleges méretekből kiindulva, és mennyi a teljes anyagköltség a két üzletben? Mutasd meg, hol és milyen irányban kerekítettél!
Read the worked answer
1. Terület és csempeszám
- Terasz területe: 5,6 · 4,2 = 23,52 m².
- Egy csempe területe: 0,30 · 0,30 = 0,09 m².
- Csempeszám ráhagyás nélkül: 23,52 / 0,09 = 261,33 → 262 db (felfelé, mert tört csempét nem lehet feltenni).
2. A ráhagyás kétféle számolása – itt dől el a dobozszám
- (a) Darabszámra vetítve: 262 · 1,10 = 288,2 → 289 db → 289 / 12 = 24,08 → 25 doboz.
- (b) Területre vetítve: 23,52 · 1,10 = 25,872 m² → 25,872 / 0,09 = 287,47 → 288 db → 288 / 12 = 24 doboz pontosan. A két út egy doboznyi különbséget ad, mert a közbülső kerekítés felfelé tol. A gyakorlatban a (a) irány a biztonságos: a vágási veszteség egész csempéken jelentkezik, és egy doboz csempe 12 db-ot jelent, nem 0,09 m²-t.
3. Költségek
- A üzlet: 25 doboz névleges ára 25 · 4990 = 124 750 Ft; 20 doboz felett 15% kedvezmény: 124 750 · 0,85 = 106 037,5 ≈ 106 040 Ft.
- B üzlet: 25 · 4200 = 105 000 Ft. Tehát a névleges számítás szerint a B üzlet kb. 1000 Ft-tal olcsóbb, de ott nincs visszaváltási lehetőség.
2. A mérési bizonytalanság (±3 cm) figyelembevételével hány doboz jöhet szóba? Melyik üzletből rendelj, ha a burkoló nem állhat meg, és a visszaváltás csak az A üzletben lehetséges? Számolj a legkedvezőtlenebb esettel is!
Read the worked answer
1. A terület szélső értékei
- Minimum: 5,57 · 4,17 = 23,2269 m².
- Maximum: 5,63 · 4,23 = 23,8149 m².
2. Csempeszám a 10% ráhagyással
- Minimum: 23,2269 · 1,10 = 25,5496 m² → 25,5496 / 0,09 = 283,88 → 284 db → 284 / 12 = 23,67 → 24 doboz.
- Maximum: 23,8149 · 1,10 = 26,1964 m² → 26,1964 / 0,09 = 291,07 → 292 db → 292 / 12 = 24,33 → 25 doboz. Tehát a valóságban 24 vagy 25 dobozra lesz szükség; a legrosszabb eset a 25 doboz.
3. Döntés
- Ha 25 doboz kell: A = 106 040 Ft, B = 25 · 4200 = 105 000 Ft (B olcsóbb 1040 Ft-tal).
- Ha kiderül, hogy elég 24 doboz: A esetén a felesleges dobozt visszaveszik, így 24 · 4990 · 0,85 = 101 796 Ft a tényleges költség; B esetén a 25. doboz pénzkidobás, marad 105 000 Ft.
- Vagyis az A üzletben a 24/25 doboz kockázata „ingyen” biztosítható, a B üzletben viszont a 24 dobozos rendelés kockázatos: ha mégis kell a 25., a munka megáll. Következtetés: a „nem állhat meg a munka” feltétel mellett az A üzlet a racionális választás: 25 dobozt kell rendelni, és a fel nem használtat vissza kell vinni. A B üzlet csak akkor jobb, ha biztosan tudjuk, hogy 25 doboz elfogy, és vállaljuk a visszaváltás hiányát.
3. A megrendelő azt mondja: „A 10%-os ráhagyás bőven elég, hiszen a mérési hiba legfeljebb 2,5%.” Vizsgáld meg az állítást: hány százalékkal térhet el a terasz területe a névlegestől, és hogyan viszonyul ehhez a 10%?
Read the worked answer
1. A terület relatív eltérése
- Névleges terület: 23,52 m².
- Felső eset: 23,8149 / 23,52 = 1,01254 → +1,25%.
- Alsó eset: 23,2269 / 23,52 = 0,98754 → −1,25%.
- Ellenőrzés lineáris közelítéssel: egy oldal relatív hibája 0,03 / 5,6 ≈ 0,54%, a másiké 0,03 / 4,2 ≈ 0,71%; a terület relatív hibája közelítőleg a kettő összege, azaz kb. 1,25% – ezt kaptuk pontosan is.
2. A 2,5%-os állítás hibája A 2,5% onnan jöhet, hogy valaki a két oldal hibáját összeadta és még egyszer megduplázta. A helyes érték ±1,25% körüli, tehát az állítás számszerűen túlbecsüli a hibát – de a lényeg nem ez.
3. Miért nem „elég” a 10% helyette? A 10%-os ráhagyás a vágási veszteségre vonatkozik, a mérési hiba pedig más forrás. A kettő nem helyettesíti, hanem szorzódik egymással: a legrosszabb esetben a terület 23,8149 m², amire még 10% ráhagyás jön → 26,1964 m², azaz 292 db csempe. A helyes eljárás tehát: először a felső, mérésből adódó területtel számolunk, majd erre tesszük rá a 10%-ot. A megrendelő állítása két különböző hibafajtát mos össze.