Érettségi Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Kerekítés szabálya

Az elhagyott első jegy dönt: ha 5 vagy nagyobb, felfelé kerekítünk, különben lefelé. Negatív számoknál az abszolút értéket kerekítjük, majd visszaadjuk az előjelet.

Relatív hiba

A közelítő és a pontos érték különbségének abszolút értéke osztva a pontos érték abszolút értékével. Százalékos hibához szorozzuk 100-zal.

Szita-formula két halmazra

Két halmaz uniójának elemszáma az elemszámok összege mínusz a metszet elemszáma: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|. Ez a duplán számolt elemek kiszűrését végzi.

De Morgan-azonosságok

Egy unió komplementere a komplementerek metszete, egy metszet komplementere a komplementerek uniója: (A∪B)′ = A′∩B′ és (A∩B)′ = A′∪B′.

Ismétlés nélküli kombináció

C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) megadja, hányféleképpen választhatunk ki k darabot n elemből, ha a sorrend nem számít és ismétlés nincs.

Kézfogás-lemma

Egy gráfban a csúcsok fokszámának összege mindig egyenlő az élek számának kétszeresével, mert minden él két csúcs fokszámához járul hozzá.

Euler-út feltétele

Összefüggő gráfban Euler-út (minden élen pontosan egyszer végigmenő út) akkor és csak akkor létezik, ha legfeljebb két páratlan fokszámú csúcs van.

Másodfokú függvény csúcsa

Az f(x) = ax² + bx + c parabola csúcsának első koordinátája x₀ = −b/(2a). Itt van minimum, ha a > 0, és maximum, ha a < 0.

Számtani sorozat összege

Az első n tag összege Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, azaz a tagok száma szorozva az első és utolsó tag számtani közepével.

Mértani sorozat összege

Az első n tag összege Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1), ha q ≠ 1. Ha |q| < 1, a végtelen összeg a₁/(1−q).

Logaritmus azonosságai

Szorzat logaritmusa az összeg: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Hányadosnál különbség, hatványnál a kitevő kiemelhető: logₐ(xᵏ) = k·logₐx.

Kamatos kamat képlete

n év után a tőke Kₙ = K₀(1 + p/100)ⁿ, ahol p az éves kamatláb százalékban. Ez exponenciális növekedést jelent, nem lineárist.

Pitagorasz-tétel

Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a² + b² = c². Megfordítva is igaz.

Szinusztétel

Bármely háromszögben az oldal és a szemközti szög szinuszának hányadosa állandó: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, ahol R a körülírt kör sugara.

Koszinusztétel

c² = a² + b² − 2ab·cos γ összefüggés bármely háromszögben, ahol γ a c oldallal szemközti szög. Derékszögnél a Pitagorasz-tételre egyszerűsödik.

Háromszög területe szinuszból

Két oldal és a közbezárt szög ismeretében a terület T = (a·b·sin γ)/2, ahol γ az a és b oldal által bezárt szög.

Két pont távolsága

A (x₁, y₁) és (x₂, y₂) pontok távolsága d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), ami a Pitagorasz-tétel alkalmazása a koordináta-síkon.

Merőleges egyenesek meredeksége

Két nem függőleges egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha meredekségeik szorzata −1: m₁·m₂ = −1. Párhuzamosaknál m₁ = m₂.

Klasszikus valószínűség

Egyenlően valószínű kimenetelek esetén P(A) = kedvező esetek száma / összes esetek száma. Például egy kockával a hatos dobás valószínűsége 1/6.

Feltételes valószínűség

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), feltéve hogy P(B) > 0. Ez annak valószínűsége, hogy A bekövetkezik, ha tudjuk, hogy B már bekövetkezett.

Medián és módusz

A medián a rendezett adatsor középső értéke (páros elemszámnál a két középső átlaga). A módusz a leggyakrabban előforduló érték.

Szórás

A szórás σ = √(Σ(xᵢ − x̄)²/n), azaz az átlagtól való eltérések négyzetes átlagának négyzetgyöke. Minél nagyobb, annál szórtabb az adatsor.

Binomiális valószínűség

n független, p siker-valószínűségű próbából pontosan k siker valószínűsége P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ.

Másodfokú megoldóképlet

Az ax² + bx + c = 0 egyenlet gyökei x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a), ahol a ≠ 0. A diszkrimináns D = b² − 4ac határozza meg a gyökök számát.

Diszkrimináns jelentése

D = b² − 4ac. Ha D > 0, két különböző valós gyök van; ha D = 0, egy kétszeres gyök; ha D < 0, nincs valós gyök.

Viète-formulák

Az ax² + bx + c = 0 egyenlet gyökeire x₁ + x₂ = −b/a és x₁·x₂ = c/a. Ezek segítségével a gyökök kiszámítása nélkül is számolhatunk.

Abszolút értékes egyenlőtlenség

|x| < c (c > 0) ekvivalens −c < x < c-vel, míg |x| > c ekvivalens x < −c vagy x > c-vel. Egyenletnél |x| = c esetén x = c vagy x = −c.

Mozgásfeladat modellje

Az út a sebesség és az idő szorzata: s = v·t. Szembe haladva a sebességek összeadódnak, azonos irányban a sebességek különbsége adja a közeledést.

Keverési feladat elve

Összeöntéskor az oldott anyag mennyisége összeadódik: m₁c₁ + m₂c₂ = (m₁ + m₂)c, ahol m a tömeg és c a koncentráció. Ebből a keverék koncentrációja kiszámítható.

Százalékos változás

Egy érték p%-os növelése (1 + p/100)-dal való szorzást jelent, p%-os csökkentése (1 − p/100)-dal valót. Két egymás utáni változásnál a szorzótényezők összeszorzódnak.

Eukleidész Elemek

Eukleidész az i. e. 3. században írt Elemek című műve a geometriát axiómákból és posztulátumokból felépítő, évszázadokig meghatározó tankönyv.

Bolyai János

Bolyai János magyar matematikus 1832-ben, apja művének függelékeként publikálta a párhuzamossági axiómától eltekintő, nem-euklideszi geometriát, függetlenül Lobacsevszkijtől.