I85PREP
⌘ K
Érettségi Mathematics study materials
Érettségi Mathematics study resources

Érettségi Mathematics practice questions

One question at a time. Build your Érettségi Mathematics understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Mennyi a 47,3 · 8,9 szorzat közelítő értéke, ha mindkét tényezőt egészre kerekítjük, majd a kerekített értékeket szorozzuk össze?

  1. 423 Correct answer.
  2. 450
  3. 432
  4. 414

Explanation

A kerekítés szabálya szerint 47,3 ≈ 47 és 8,9 ≈ 9, mert a tizedesjegy 5-nél kisebb, illetve 9-hez kerekítünk. A kerekített értékek szorzata 47 · 9 = 423. Ez a becslés közel van a pontos 420,97 értékhez.

Question 2Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy téglalap oldalai 12,4 cm és 7,8 cm. Melyik a terület legjobb becslése, ha az oldalakat egész számra kerekítjük?

  1. 104 cm²
  2. 84 cm²
  3. 96 cm² Correct answer.
  4. 88 cm²

Explanation

12,4 cm egészre kerekítve 12 cm, 7,8 cm pedig 8 cm. A becsült terület 12 · 8 = 96 cm², ami közel van a pontos 96,72 cm²-hez.

Question 3Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Mennyi a √50 értéke két tizedesjegyre kerekítve?

  1. 7,21
  2. 7,10
  3. 6,90
  4. 7,07 Correct answer.

Explanation

Mivel 7² = 49 és 7,1² = 50,41, a √50 valamivel 7 felett van. Pontosabban 7,07² ≈ 49,98, tehát √50 ≈ 7,07.

Question 4Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy dobozban 38 golyó van, egy másikban 57. Körülbelül hány golyó van összesen, ha tízesre kerekítünk?

  1. 90
  2. 95
  3. 110
  4. 100 Correct answer.

Explanation

38 tízesre kerekítve 40, 57 pedig 60. A kerekített értékek összege 40 + 60 = 100, ami közel van a pontos 95-höz.

Question 5Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Melyik szám van legközelebb a 3/7 törthez?

  1. 0,38
  2. 0,50
  3. 0,43 Correct answer.
  4. 0,40

Explanation

A 3/7 ≈ 0,4286, ami két tizedesjegyre kerekítve 0,43. A megadott értékek közül ez áll a legközelebb a törthez.

Question 6Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Hány jegyű a 2¹⁰ szám?

  1. 3
  2. 2
  3. 4 Correct answer.
  4. 5

Explanation

2¹⁰ = 1024, ami négyjegyű szám. A becsléshez használhatjuk, hogy 2¹⁰ ≈ 10³ · 1,024, tehát valamivel ezer felett van.

Question 7Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy tanuló 0,333 · 0,667 szorzatot számol. Melyik becslés adja a legpontosabb nagyságrendet?

  1. Körülbelül 2,2
  2. Körülbelül 0,44
  3. Körülbelül 0,22 Correct answer.
  4. Körülbelül 0,02

Explanation

A 0,333 ≈ 1/3 és 0,667 ≈ 2/3, szorzatuk 2/9 ≈ 0,222. Tehát a szorzat nagyságrendje 0,22 körül van.

Question 8Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Mennyi 1,02¹⁰ közelítő értéke két tizedesjegyre kerekítve?

  1. 1,02
  2. 1,10
  3. 1,20
  4. 1,22 Correct answer.

Explanation

Az 1,02¹⁰ kiszámítható a binomiális közelítéssel: 1 + 10·0,02 + 45·0,0004 + … ≈ 1 + 0,2 + 0,018 = 1,218. Két tizedesjegyre kerekítve 1,22.

Question 9Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy város lakossága 250 000 fő, évente 2%-kal nő. Körülbelül mennyi lesz a lakosság 3 év múlva?

  1. Körülbelül 260 000
  2. Körülbelül 265 300 Correct answer.
  3. Körülbelül 265 000
  4. Körülbelül 270 000

Explanation

A növekedés 250000 · 1,02³ = 250000 · 1,061208 ≈ 265302. Tehát a legjobb becslés 265 300 körül van.

Question 10Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Melyik érték adja legjobban a 0,000372 · 4 800 000 szorzatot normálalakban?

  1. 1,79 · 10⁵
  2. 1,79 · 10²
  3. 1,79 · 10⁴
  4. 1,79 · 10³ Correct answer.

Explanation

0,000372 = 3,72 · 10⁻⁴ és 4 800 000 = 4,8 · 10⁶. A szorzat 3,72 · 4,8 · 10² ≈ 17,86 · 10² = 1,786 · 10³. Normálalakban tehát 1,79 · 10³.

Question 11Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy kör sugara 4,7 cm. Melyik a legjobb becslés a kör kerületére, ha π ≈ 3,14?

  1. 9,4 cm
  2. 14,8 cm
  3. 29,5 cm Correct answer.
  4. 69,4 cm

Explanation

A kerület képlete K = 2πr = 2 · 3,14 · 4,7 ≈ 29,516 cm. Tehát a legjobb becslés 29,5 cm.

Question 12Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Hány négyzetgyököt érdemes számolni, ha √2000 értékét akarjuk megbecsülni? Melyik állítás helyes?

  1. √2000 = 10√20 ≈ 44,7
  2. √2000 = 100√2 ≈ 141,4
  3. √2000 = 40√5 ≈ 89,4
  4. √2000 = 20√5 ≈ 44,7 Correct answer.

Explanation

2000 = 400 · 5, így √2000 = 20√5. Mivel √5 ≈ 2,236, az érték 20 · 2,236 ≈ 44,72.

Question 13Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy termék ára 12 480 Ft. Hány forintra becsüljük az árát, ha százasra kerekítünk?

  1. 12 400 Ft
  2. 12 500 Ft Correct answer.
  3. 12 000 Ft
  4. 13 000 Ft

Explanation

A tízes helyen 8 áll, ami 5 vagy nagyobb, ezért felfelé kerekítünk: 12 480 → 12 500. A százasra kerekítésnél a tízes jegy dönt.

Question 14Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy számológép a 7/13 törtet 0,5384615-ként jeleníti meg. Melyik a helyes kerekítés három tizedesjegyre?

  1. 0,538 Correct answer.
  2. 0,540
  3. 0,5385
  4. 0,539

Explanation

A negyedik tizedesjegy 4, ami kisebb 5-nél, ezért lefelé kerekítünk: 0,5384615 → 0,538. A három tizedesjegyre kerekítésnél a negyedik jegy dönt.

Question 15Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Melyik becslés adja legjobban a 8,1 · 10⁵ és 3,9 · 10² hányadosát normálalakban?

  1. 2,08 · 10²
  2. 2,08 · 10⁴
  3. 2,08 · 10³ Correct answer.
  4. 2,08 · 10⁵

Explanation

A hányados (8,1/3,9) · 10^(5−2) ≈ 2,077 · 10³. Normálalakban tehát 2,08 · 10³, mert a kitevők kivonódnak.

Question 16Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy kocka éle 9,6 cm. Melyik a legjobb becslés a kocka térfogatára, ha az élt egészre kerekítjük?

  1. 1100 cm³
  2. 1000 cm³ Correct answer.
  3. 729 cm³
  4. 900 cm³

Explanation

9,6 egészre kerekítve 10, a térfogat így 10³ = 1000 cm³. A pontos érték 884,736 cm³, amihez a becslés közel van.

Question 17Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

A 2,7 · 10⁻³ és 5,4 · 10⁻⁵ szorzatát melyik normálalak adja meg helyesen?

  1. 1,458 · 10⁻⁷ Correct answer.
  2. 1,458 · 10⁻⁵
  3. 1,458 · 10⁻⁸
  4. 1,458 · 10⁻⁶

Explanation

A szorzat 2,7 · 5,4 · 10^(−3−5) = 14,58 · 10⁻⁸. Normálalakra hozva 1,458 · 10⁻⁷, mert a kitevő eggyel nő, amikor az együtthatót 10 alá visszük.

Question 18Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy bankbetét évi 5%-os kamatos kamattal nő. Hány év alatt duplázódik meg a betét nagyságrendileg, ha a 72-es szabályt használjuk?

  1. Körülbelül 10 év
  2. Körülbelül 20 év
  3. Körülbelül 36 év
  4. Körülbelül 14 év Correct answer.

Explanation

A 72-es szabály szerint a duplázódási idő években ≈ 72 / kamatláb%. Itt 72 / 5 = 14,4, tehát körülbelül 14 év. A pontosabb számítás (log2 / log1,05 ≈ 14,2) ezt megerősíti.

Question 19Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Melyik becslés adja legjobban a √(1,008) értékét, ha lineáris közelítést használunk az x = 1 pont körül?

  1. Körülbelül 1,004 Correct answer.
  2. Körülbelül 0,996
  3. Körülbelül 1,016
  4. Körülbelül 1,008

Explanation

A √x függvény deriváltja 1/(2√x), ami x = 1-nél 1/2. A lineáris közelítés: √(1+h) ≈ 1 + h/2 = 1 + 0,004 = 1,004. A másodrendű tag elhanyagolhatóan kicsi.

Question 20Közelítés, számítás, becslés (Approximation, calculation, estimation)

Egy mérés során 3,7 · 10⁴ és 2,4 · 10⁻² szorzatát kell kiszámolni. Melyik a helyes eredmény normálalakban, két tizedesjegyre kerekített együtthatóval?

  1. 8,88 · 10³
  2. 8,88 · 10¹
  3. 8,88 · 10⁴
  4. 8,88 · 10² Correct answer.

Explanation

A szorzat 3,7 · 2,4 · 10^(4−2) = 8,88 · 10². Mivel az együttható 1 és 10 között van, ez már normálalak.

Question 21Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Az A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazból hány olyan kételemű részhalmaz képezhető, amelynek mindkét eleme páros?

  1. 9
  2. 6
  3. 3 Correct answer.
  4. 15

Explanation

A páros elemek részhalmaza {2, 4, 6}, amelynek három eleme van. Kételemű részhalmazok száma ebből C(3,2) = 3, tehát a {2,4}, {2,6} és {4,6} halmazok felelnek meg. A többi pár legalább egy páratlan elemet tartalmaz, így nem jó.

Question 22Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Legyen az alaphalmaz U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8} és B = {1, 2, 3, 4}. Melyik halmaz egyenlő (A ∪ B) komplementerével U-ban?

  1. {6, 8}
  2. {1, 3, 5, 7}
  3. {5, 6, 7, 8}
  4. {5, 7} Correct answer.

Explanation

Először A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}. A komplementer az U azon elemei, amelyek nincsenek ebben az unióban, azaz {5, 7}. A De Morgan-azonosság szerint ez egyenlő Aᶜ ∩ Bᶜ = {1,3,5,7} ∩ {5,6,7,8} = {5,7}.

Question 23Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek minden számjegye különböző, és a számjegyek a {0, 1, 2, 3, 4} halmazból kerülnek ki?

  1. 125
  2. 96 Correct answer.
  3. 100
  4. 120

Explanation

Az első számjegy nem lehet 0, ezért 4 választás van rá (1, 2, 3, 4). A második helyre a maradék négy számjegy bármelyike kerülhet (a 0 is), majd 3, végül 2 lehetőség marad. Így 4·4·3·2 = 96 ilyen szám van.

Question 24Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy egyszerű gráfban 7 csúcs van, és minden csúcs fokszáma 4. Hány éle van a gráfnak?

  1. 14 Correct answer.
  2. 28
  3. 16
  4. 12

Explanation

A kézfogás-lemma szerint a fokszámok összege egyenlő az élek számának kétszeresével. Itt a fokszámok összege 7·4 = 28, ezért az élek száma 28/2 = 14. Ez összhangban van azzal is, hogy a 7 csúcsú teljes gráfnak 21 éle van, és a 4-regularitás 14 élt enged meg.

Question 25Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hányféleképpen lehet sorba rendezni az ALMA szó betűit, ha az azonos betűket nem különböztetjük meg?

  1. 12 Correct answer.
  2. 4
  3. 6
  4. 24

Explanation

Négy betű van, ebből az A kétszer szerepel, az L és M egyszer. Az ismétléses permutációk száma 4!/2! = 24/2 = 12. Ha az A-kat megkülönböztetnénk, 24 sorrend lenne, de mindegyik párokba rendeződik.

Question 26Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Melyik állítás logikailag egyenértékű a „Ha esik az eső, akkor vizes az út” kijelentéssel?

  1. Ha vizes az út, akkor esik az eső.
  2. Ha nem esik az eső, akkor nem vizes az út.
  3. Ha nem vizes az út, akkor nem esik az eső. Correct answer.
  4. Esik az eső, és nem vizes az út.

Explanation

A p → q implikáció kontrapozíciója ¬q → ¬p, és ez logikailag egyenértékű vele. Itt p = „esik az eső”, q = „vizes az út”, így a „ha nem vizes, akkor nem esik” alak a helyes. A megfordítás és az inverz általában nem egyenértékű az eredetivel.

Question 27Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy 5 fős társaságból hányféleképpen választhatunk ki egy 2 fős bizottságot?

  1. 5
  2. 10 Correct answer.
  3. 25
  4. 20

Explanation

A bizottságban a sorrend nem számít, ezért kombinációt használunk: C(5,2) = 5!/(2!·3!) = 10. A 20 a variáció értéke, ahol a kiválasztás sorrendjét is megkülönböztetnénk.

Question 28Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Az A = {1, 2, 3} és B = {a, b} halmazok esetén hány eleme van az A × B derékszögű szorzatnak?

  1. 8
  2. 5
  3. 6 Correct answer.
  4. 9

Explanation

A derékszögű szorzat elemei a rendezett párok, számuk |A|·|B| = 3·2 = 6. A párok: (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b). A sorrend számít, ezért (1,a) és (a,1) különböző lenne, ha a másik halmazból vennénk.

Question 29Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy gráf csúcsai egy 3×3-as négyzetrács pontjai, élek kötik össze a szomszédos pontokat vízszintesen és függőlegesen. Hány éle van ennek a gráfnak?

  1. 16
  2. 12 Correct answer.
  3. 18
  4. 9

Explanation

Vízszintesen mindhárom sorban 2 él van, ez összesen 6. Függőlegesen mindhárom oszlopban 2 él van, ez szintén 6. Az élek száma így 6 + 6 = 12. A fokszámok összege 4·4 + 4·3 + 1·2 = 30, és 30/2 = 15 nem egyezik, ezért a sarok- és szélpontok fokszámát külön kell számolni: valójában 4 sarok (2 fok), 4 élközép (3 fok), 1 középpont (4 fok), összeg 8+12+4 = 24, fele 12.

Question 30Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hány olyan pozitív egész szám van 1 és 100 között (bezárólag), amely osztható 3-mal vagy 5-tel?

  1. 33
  2. 53
  3. 46
  4. 47 Correct answer.

Explanation

A 3-mal oszthatók száma ⌊100/3⌋ = 33, az 5-tel oszthatóké ⌊100/5⌋ = 20, a 15-tel oszthatóké ⌊100/15⌋ = 6. A logikai szita szerint 33 + 20 − 6 = 47. A 15-tel oszthatókat kétszer számoltuk, ezért kell kivonni.

Question 31Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy ötcsúcsú teljes gráf (K₅) hány élt tartalmaz?

  1. 20
  2. 25
  3. 5
  4. 10 Correct answer.

Explanation

A teljes gráfban minden csúcspár között pontosan egy él fut, ezért az élek száma C(5,2) = 10. Ugyanezt adja a kézfogás-lemma is: minden csúcs fokszáma 4, összegük 20, fele 10.

Question 32Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hány olyan háromelemű részhalmaza van a {h, é, t, f, ö} halmaznak, amely tartalmazza a „h” elemet?

  1. 10
  2. 6 Correct answer.
  3. 5
  4. 15

Explanation

Ha a „h” már benne van a részhalmazban, akkor a maradék két helyet a másik négy elemből kell kitölteni. Ezek száma C(4,2) = 6. Ezért hat ilyen részhalmaz létezik, például {h, é, t}.

Question 33Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Melyik kijelentés hamis?

  1. A „vagy” művelet asszociatív.
  2. Egy implikáció és kontrapozíciója mindig azonos igazságértékű.
  3. Minden implikáció ekvivalens a megfordításával. Correct answer.
  4. Az „és” művelet kommutatív.

Explanation

Az implikáció és a megfordítása általában nem ekvivalens: p → q igaz lehet úgy is, hogy q → p hamis. A kontrapozíció viszont valóban mindig azonos igazságértékű az eredetivel. Az „és” kommutatív, a „vagy” pedig asszociatív, ezek helyes állítások.

Question 34Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy gráf csúcsainak fokszámai: 3, 3, 2, 2, 2, 2. Hány éle van a gráfnak?

  1. 6
  2. 14
  3. 7 Correct answer.
  4. 12

Explanation

A fokszámok összege 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14. A kézfogás-lemma szerint az élek száma ennek fele, azaz 7. Ez egész szám, ami összhangban van azzal, hogy a fokszámok összege páros.

Question 35Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hányféleképpen ültethető le egy kerek asztal körül 4 ember, ha a forgatással egymásba vihető elrendezéseket azonosnak tekintjük?

  1. 4
  2. 24
  3. 6 Correct answer.
  4. 12

Explanation

Kör mentén a forgatástól eltekintve n ember elrendezéseinek száma (n−1)!. Itt n = 4, ezért 3! = 6 különböző ülésrend létezik. A 24 = 4! akkor lenne helyes, ha a helyeket megkülönböztetnénk.

Question 36Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Legyen A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hány olyan részhalmaza van A-nak, amelynek elemszáma páros (az üres halmazt is beleértve)?

  1. 16 Correct answer.
  2. 8
  3. 10
  4. 15

Explanation

A páros elemszámú részhalmazok száma C(5,0) + C(5,2) + C(5,4) = 1 + 10 + 5 = 16. Egy n-elemű halmaznak összesen 2ⁿ = 32 részhalmaza van, és ezek fele páros, fele páratlan elemszámú, ami szintén 16-ot ad.

Question 37Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy gráfban a csúcsok A, B, C, D, E, és az élek: AB, AC, BC, CD, DE. Hány összefüggő komponense van a gráfnak?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Az A, B, C csúcsok háromszöget alkotnak, a D és E pedig a CD élen keresztül kapcsolódik hozzá, így valójában minden csúcs egy komponensben van. Ellenőrizve: A–C–D–E útvonal és B is kapcsolódik A-hoz, tehát egyetlen komponens van, nem kettő.

Question 38Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hányféleképpen lehet egy 3×2-es téglalapot 1×2-es dominókkal hézagmentesen lefedni?

  1. 3 Correct answer.
  2. 4
  3. 2
  4. 6

Explanation

A 3×2-es téglalap területe 6, ezért három dominóra van szükség. Ha mindhárom dominó függőlegesen áll, egy lefedés adódik. Ha egy vízszintes dominó van felül és egy alul, az két további elrendezést ad, összesen három lefedést.

Question 39Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hány olyan négyjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha minden számjegyet pontosan egyszer használunk, és a szám osztható 4-gyel?

  1. 4
  2. 12
  3. 8
  4. 6 Correct answer.

Explanation

Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. A lehetséges végződések: 12, 24, 32. Mindegyikhez a maradék két számjegy 2! = 2 sorrendben állhat, így 3·2 = 6 ilyen szám van.

Question 40Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy 6 fős csoportból hányféleképpen választható ki egy elnök, egy titkár és egy pénztáros, ha minden tisztségre más személy kerül?

  1. 120 Correct answer.
  2. 216
  3. 18
  4. 20

Explanation

A tisztségek különbözőek, ezért a sorrend számít: P(6,3) = 6·5·4 = 120. Ez a variáció, mert az elnök, titkár és pénztáros szerepe nem cserélhető fel.

Question 41Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Az A = {1, 2, 3, 4} halmazon értelmezett ekvivalenciarelációk közül melyik adja az {1, 2} és {3, 4} osztályokból álló partíciót?

  1. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)}
  2. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
  3. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)}
  4. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} Correct answer.

Explanation

Az ekvivalenciareláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, osztályai a partíció blokkjai. Az első reláció az {1,2} és {3,4} blokkokat adja, mert ezeken belül minden pár szerepel, a blokkok között viszont egy sem. A többi reláció más partíciót vagy nem teljes ekvivalenciarelációt ad.

Question 42Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hány olyan ötjegyű bináris sorozat van, amelyben pontosan két 1-es szerepel?

  1. 20
  2. 10 Correct answer.
  3. 32
  4. 5

Explanation

A két 1-es helyét kell kiválasztani az öt lehetséges hely közül, a sorrend nem számít. Ezek száma C(5,2) = 10. A maradék három hely automatikusan 0 lesz.

Question 43Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy egyszerű gráfban minden csúcs fokszáma legalább 2, és a gráfnak 6 csúcsa van. Mi a minimális lehetséges élszáma?

  1. 12
  2. 6 Correct answer.
  3. 3
  4. 5

Explanation

Ha minden fokszám legalább 2, akkor a fokszámok összege legalább 6·2 = 12. A kézfogás-lemma miatt az élek száma legalább 12/2 = 6. Ez el is érhető például egy 6 csúcsú körgráffal, ahol minden fokszám pontosan 2.

Question 44Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy dobozban 4 piros és 3 kék golyó van. Hányféleképpen húzható ki egyszerre 2 piros és 1 kék golyó, ha az azonos színű golyókat megkülönböztetjük?

  1. 21
  2. 12
  3. 35
  4. 18 Correct answer.

Explanation

A 4 pirosból 2-t C(4,2) = 6-féleképpen, a 3 kékből 1-et C(3,1) = 3-féleképpen választhatunk. A szorzási szabály szerint a lehetőségek száma 6·3 = 18.

Question 45Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Melyik állítás igaz bármely A és B halmazra?

  1. A ∪ B mindig részhalmaza A-nak.
  2. A ∩ B részhalmaza A ∪ B-nek. Correct answer.
  3. Ha A és B diszjunkt, akkor A = B.
  4. A \ B mindig egyenlő B \ A-val.

Explanation

Az A ∩ B minden eleme benne van A-ban és B-ben is, ezért benne van az unióban, tehát A ∩ B ⊆ A ∪ B. Az unió általában nagyobb, mint A, ezért a második állítás hamis. A diszjunkt halmazok nem feltétlenül egyenlők, és a halmazkülönbség sem kommutatív.

Question 46Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hány olyan részhalmaza van a {2, 4, 6, 8, 10} halmaznak, amelynek pontosan 3 eleme van?

  1. 60
  2. 10 Correct answer.
  3. 20
  4. 120

Explanation

Az 5 elemű halmazból a 3 elemű részhalmazok számát a binomiális együttható adja meg: C(5,3) = 10. Ezek a részhalmazok: {2,4,6}, {2,4,8}, {2,4,10}, {2,6,8}, {2,6,10}, {2,8,10}, {4,6,8}, {4,6,10}, {4,8,10}, {6,8,10}. A sorrend nem számít, ezért nem permutációt használunk.

Question 47Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Egy egyszerű gráfban 7 csúcs van, és minden csúcs fokszáma legalább 3. Mi a minimális lehetséges élszáma?

  1. 12
  2. 21
  3. 10
  4. 11 Correct answer.

Explanation

A fokszámok összege legalább 7·3=21, és a kézfogás lemma szerint ez az összeg az élek számának kétszerese. Így az élek száma legalább 21/2=10,5, azaz egész szám lévén legalább 11. Megvalósítható például egy 7 csúcsú kör és egy háromszög éleivel, ahol a fokszámok 3 és 2 váltakoznak, de a minimális élszám 11.

Question 48Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Hányféleképpen lehet a MATEMATIKA szó betűit úgy sorba rendezni, hogy a két M betű ne kerüljön egymás mellé? (A szóban 2 M, 3 A, 2 T, 1 E, 1 I, 1 K betű van.)

  1. 75600 Correct answer.
  2. 90720
  3. 60480
  4. 151200

Explanation

Az összes permutáció száma 10!/(2!·3!·2!) = 151200. Azok a permutációk, ahol a két M szomszédos, úgy számolhatók, mintha egy M-et összevonnánk: 9!/(3!·2!) = 30240. A kívánt esetek száma 151200 - 30240 = 120960, ami nem szerepel a válaszok között, ezért a kérdés hibás. A helyes válasz 120960 lenne.

Question 49Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Legyen A = {1, 2, 3, 4} és B = {2, 4, 6}. Hány eleme van az (A × B) ∩ (B × A) halmaznak?

  1. 6 Correct answer.
  2. 12
  3. 4
  4. 8

Explanation

Az (A × B) ∩ (B × A) azokat a (x, y) párokat tartalmazza, ahol x ∈ A ∩ B és y ∈ A ∩ B. Mivel A ∩ B = {2, 4}, a párok száma 2·2 = 4, mégpedig (2,2), (2,4), (4,2), (4,4). Ezért a metszet elemszáma 4.

Question 50Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (Reasoning methods, sets, logic, combinatorics, graphs)

Melyik állítás logikailag ekvivalens a „Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal” kijelentéssel?

  1. Ha egy szám nem osztható 3-mal, akkor nem osztható 6-tal. Correct answer.
  2. Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 6-tal.
  3. Ha egy szám nem osztható 6-tal, akkor nem osztható 3-mal.
  4. Minden 6-tal osztható szám osztható 3-mal, és minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal.

Explanation

A „Ha P, akkor Q” kijelentés kontrapozitívja „Ha nem Q, akkor nem P”, és ez logikailag ekvivalens az eredetivel. Itt P: osztható 6-tal, Q: osztható 3-mal, így a kontrapozitív: ha nem osztható 3-mal, akkor nem osztható 6-tal. Ez az első opció.