Érettségi Mathematics cheat sheet

Kerekítés: a tizedesjegyek száma adott; az elhagyott első jegy dönt (5 vagy nagyobb → felfelé), negatív számoknál abszolút értékben kerekítünk.

Nagyságrendbecslés: minden tényezőt egyetlen értékes jegyre kerekítünk, majd a szorzás/osztás után ellenőrizzük a tizedesvessző helyét.

Relatív hiba = |közelítő érték − pontos érték| / |pontos érték|; százalékos hiba = relatív hiba · 100%.

Abszolút hiba korlátja kerekítésnél: a legkisebb megtartott helyiérték fele (pl. századra kerekítésnél 0,005).

Műveletsorrend: zárójel, hatványozás/gyökvonás, szorzás/osztás, összeadás/kivonás; azonos szinten balról jobbra.

Tört közelítése tizedestörttel: osztás maradékos algoritmussal; végtelen szakaszos tizedestörtet felülvonással jelölünk.

Becslési trükk: 1,01^n ≈ 1 + 0,01n kis n-re; 0,99^n ≈ 1 − 0,01n; ezek lineáris közelítések.

Számológép-eredmény ellenőrzése: becsülj fejben egy nagyságrendet, és csak a tizedesvessző eltérését keresd.

Halmazműveletek: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|; három halmazra a szita-formula tagjait váltakozó előjellel adjuk.

De Morgan: (A∪B)′ = A′∩B′ és (A∩B)′ = A′∪B′; komplementer az alaphalmazra vonatkoztatva.

Permutáció: n!; ismétléses permutáció n!/(k₁!k₂!…); variáció ismétlés nélkül n!/(n−k)!, ismétléssel n^k.

Kombináció: C(n,k) = n!/(k!(n−k)!); ismétléses kombináció C(n+k−1,k).

Binomiális tétel: (a+b)^n = Σ C(n,k)·a^(n−k)·b^k; a Pascal-háromszög sorai a binomiális együtthatók.

Skatulyaelv: ha n tárgyat k helyre teszünk és n > k, akkor legalább egy helyen több mint egy tárgy van.

Gráf: kézfogás-lemma - a fokszámok összege = 2·élszám; fagráfra élszám = csúcsok száma − 1.

Euler-út létezésének feltétele: legfeljebb két páratlan fokszámú csúcs van; Euler-körhöz minden fokszám páros.

Logika: tagadás (¬), és (∧), vagy (∨), implikáció (A→B ≡ ¬A∨B); a kontrapozíció A→B ≡ ¬B→¬A.

Másodfokú függvény: f(x)=ax²+bx+c csúcs x₀ = −b/(2a); a > 0 esetén minimum, a < 0 esetén maximum van a csúcsban.

Exponenciális függvény f(x)=a^x: a > 1 növekvő, 0 < a < 1 csökkenő; mindig pozitív, és átmegy a (0,1) ponton.

Logaritmus: logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐ(x/y) = logₐx − logₐy; logₐ(x^k) = k·logₐx; áttérés: logₐx = ln x / ln a.

Számtani sorozat: aₙ = a₁ + (n−1)d; Sₙ = n(a₁+aₙ)/2; bármely tag a szomszédok számtani közepe.

Mértani sorozat: aₙ = a₁·q^(n−1); Sₙ = a₁(q^n−1)/(q−1) q≠1 esetén; |q|<1 esetén végtelen összeg a₁/(1−q).

Kamat: Kₙ = K₀(1+p/100)^n évi kamatos kamatnál; lineáris növekedés csak egyszerű kamatnál.

Inverz függvény: f⁻¹ létezik, ha f szigorúan monoton; grafikonjuk az y = x egyenesre tükrös.

Függvénytranszformáció: f(x−c) jobbra tol c-vel, f(x)+d felfelé d-vel, −f(x) az x-tengelyre tükröz, f(−x) az y-tengelyre.

Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögben: a² + b² = c², ahol c az átfogó.

Háromszög területe: T = (a·b·sin γ)/2; Héron-képlet: T = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), ahol s a félkerület.

Szögfüggvények derékszögű háromszögben: sin α = szemben/átfogó, cos α = melletti/átfogó, tg α = szemben/melletti.

Szinusztétel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R; koszinusztétel: c² = a² + b² − 2ab·cos γ.

Kör: kerület 2rπ, terület r²π; körcikk területe (α/360°)·r²π, ívhossza (α/360°)·2rπ.

Térfogat és felszín: téglatest V = abc, A = 2(ab+bc+ca); gömb V = (4/3)r³π, A = 4r²π; henger V = r²π·m.

Két pont távolsága: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²); szakasz felezőpontja ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).

Egyenes: y = mx + b, ahol m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁); merőleges egyenesek m₁·m₂ = −1.

Kör egyenlete: (x−u)² + (y−v)² = r², középpont (u,v), sugár r.

Klasszikus valószínűség: P(A) = kedvező esetek száma / összes eset száma, egyenlően valószínű kimeneteleknél.

Komplementer: P(A′) = 1 − P(A); független eseményekre P(A∩B) = P(A)·P(B).

Összeadási szabály: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); egymást kizáró eseményeknél a metszet valószínűsége 0.

Feltételes valószínűség: P(A|B) = P(A∩B)/P(B); innen P(A∩B) = P(A|B)·P(B).

Átlag: x̄ = Σxᵢ/n; medián a rendezett adatsor középső értéke (páros n esetén a két középső átlaga).

Módusz a leggyakoribb érték; szórás: σ = √(Σ(xᵢ−x̄)²/n); nagyobb szórás nagyobb szóródást jelent.

Binomiális eloszlás: P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), n független próbára, p siker-valószínűséggel.

Dobókocka/dobás: két kocka összege 7-nek 6-féle kimenetele van a 36-ból, tehát P = 1/6.

Másodfokú egyenlet: ax²+bx+c = 0 megoldóképlete x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a); diszkrimináns D = b²−4ac.

D > 0 → két valós gyök; D = 0 → egy (kétszeres) gyök; D < 0 → nincs valós gyök.

Viète-formulák: x₁+x₂ = −b/a és x₁·x₂ = c/a.

Nevezetes azonosságok: (a+b)² = a²+2ab+b²; a²−b² = (a−b)(a+b); a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²).

Abszolút értékes egyenlet: |x| = c (c ≥ 0) esetén x = c vagy x = −c; |x| < c ekvivalens −c < x < c.

Másodfokú egyenlőtlenség: a gyökök közötti/kívüli intervallumot a parabola nyílása dönti el (a előjele).

Exponenciális egyenlet: azonos alapra hozás után a kitevők egyenlők; pl. 2^x = 8 → x = 3.

Logaritmikus egyenlet megoldásánál ellenőrizni kell, hogy az argumentumok pozitívak-e (értelmezési tartomány).

Gyökös egyenlet: izolálás után négyzetre emelés; a kapott gyököket mindig vissza kell helyettesíteni (hamis gyök kiszűrése).

Modellalkotás lépései: ismeretlen jelölése, feltételek egyenletté alakítása, megoldás, ellenőrzés a szöveg alapján.

Mozgásfeladat: út = sebesség · idő; szembe haladásnál a sebességek összeadódnak, azonos iránynál kivonódnak.

Keverési feladat: a komponensek mennyisége (tömeg × koncentráció) az összeöntéskor összeadódik.

Munkafeladat: 1/t₁ + 1/t₂ = 1/t közös időre, ahol t a közös befejezési idő.

Százalék: növelés p%-kal → szorzás (1 + p/100)-dal; csökkentés → (1 − p/100); két egymás utáni változás szorzódik.

Életkor-feladat: a jelenlegi életkorokból indulj, és a múlt/jövő éveket egyaránt add hozzá vagy vond ki.

Optimalizálás: a célfüggvényt egy változóra redukáljuk (pl. kerület adott → terület maximalizálása), majd csúcsot vagy szélsőértéket keresünk.

Ellenőrzés: a kapott értéknek meg kell felelnie a valóságnak (nemnegatív hossz, egész darabszám, 100%-on belüli arány).

Pitagorasz (i. e. 6. sz.) nevéhez kötődik a pitagoraszi iskola és a derékszögű háromszög tétele.

Eukleidész „Elemek” című műve (i. e. 3. sz.) az axiomatikus geometria alapműve.

Arkhimédész a kör területének és a gömb térfogatának meghatározásával, valamint a kimerítés módszerével alkotott maradandót.

A nulla és a helyiértékes írásmód indiai eredetű; Európába arab közvetítéssel került (al-Khvárizmi nevéből az „algoritmus”).

Descartes (17. sz.) nevéhez fűződik a koordináta-rendszer és az analitikus geometria megalapozása.

Newton és Leibniz egymástól függetlenül dolgozták ki a differenciál- és integrálszámítást a 17. században.

Bolyai János (1832) és Nyikolaj Lobacsevszkij egymástól függetlenül alkották meg a nem-euklideszi geometriát.

Erdős Pál a 20. századi magyar matematika kiemelkedő alakja, gráfelméleti és számelméleti eredményeivel; a róla elnevezett szám a barátságos számokhoz kapcsolódik.

A valószínűségszámítás axiomatikus megalapozása Kolmogorov nevéhez fűződik (1933).