Diákönkormányzati bizottság: leszámolás két feltétellel
Egy gimnázium diákönkormányzati bizottságát négy főből állítják össze kilenc jelölt közül. A jelöltek között öt lány (Anna, Bea, Csilla, Dóra, Emese) és négy fiú (Ferenc, Gábor, Huba, Igor) van. Az iskolai szabályzat szerint a bizottságban legalább két lánynak kell lennie. Anna és Ferenc korábban összevesztek egy iskolai ügyön, ezért a tanár azt kéri, hogy ők ketten ne kerüljenek egyszerre a bizottságba. A bizottság megalakulása után a tagok maguk közül választanak elnököt és titkárt; ugyanaz a személy nem töltheti be mindkét tisztséget. A diákok most próbálják megbecsülni, hányféle bizottság alakulhat, és mekkora az esélyük az egyes jelölteknek. A vitában valaki azt állítja, hogy Annának kétszer akkora esélye van bekerülni, mint Hubának, mert „több lány kell”.
1. Hányféleképpen alakulhat meg a bizottság a szabályok szerint? Indokold a leszámolást, és mutasd meg, hogyan kezeled az „Anna és Ferenc nem lehet együtt” feltételt!
Read the worked answer
1. Először a „legalább két lány” feltétel, a tiltás nélkül Csoportonként számolunk, a lányok száma szerint:
- 2 lány, 2 fiú: C(5,2) · C(4,2) = 10 · 6 = 60
- 3 lány, 1 fiú: C(5,3) · C(4,1) = 10 · 4 = 40
- 4 lány, 0 fiú: C(5,4) = 5 Összesen: 60 + 40 + 5 = 105.
2. A tiltott esetek kivonása (komplementer számolás) Rögzítsük Annát és Ferencet a bizottságban. Ekkor már 1 lány és 1 fiú van bent, tehát a maradék 2 helyre a többi 7 jelöltből (4 lány, 3 fiú) úgy választunk, hogy még legalább 1 lány bekerüljön:
- Összes választás: C(7,2) = 21
- Csak fiúk (nem megengedett): C(3,2) = 3
- Megengedett: 21 − 3 = 18.
3. Eredmény 105 − 18 = 87féle bizottság alakulhat. Ellenőrzés csoportonként: (2 lány, 2 fiú) 60 − 12 = 48; (3 lány, 1 fiú) 40 − 6 = 34; (4 lány, 0 fiú) 5 − 0 = 5; összeg 48 + 34 + 5 = 87 ✔.
2. Ha a négy tagot egyenlő eséllyel választják a szabályoknak megfelelő bizottságok közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy Anna tagja lesz? Számold ki ugyanezt Hubára is, és döntsd el, igaz-e a vitában elhangzott állítás!
Read the worked answer
1. Anna esélye Anna mellett 3 helyet kell betölteni a maradék 8 jelöltből (4 lány, 4 fiú), a „legalább 2 lány” feltétellel. Anna lány, tehát még legalább 1 lány kell a maradék háromból:
- Összes: C(8,3) = 56
- Csak fiúk: C(4,3) = 4 → ezek nem megengedettek
- Megengedett: 56 − 4 = 52
Ebből le kell vonni azokat, ahol Ferenc is bent van Annával együtt. Ha Anna és Ferenc bent van, még 2 hely marad a 7 jelöltből, és kell még legalább 1 lány (a 4 lányból): C(7,2) − C(3,2) = 21 − 3 = 18.
Így Anna esetei: 52 − 18 = 37.
P(Anna) = 37/87 ≈ 0,425.
2. Huba esélye Huba fiú, mellette kell még legalább 2 lány a maradék 3 helyre. A maradék 8: 5 lány, 3 fiú (Ferenc, Gábor, Igor).
- 2 lány + 1 fiú: C(5,2) · C(3,1) = 10 · 3 = 30
- 3 lány: C(5,3) = 10
Összesen 40. Ebből kivonjuk azokat, ahol Anna és Ferenc is bent van Huba mellett: ekkor 1 hely marad a 6 jelöltből (4 lány, 2 fiú), és kell még lány is (Anna már lány, de a „legalább 2 lány” miatt még egy kell): 4 eset.
Huba esetei: 40 − 4 = 36. P(Huba) = 36/87 ≈ 0,414.
3. Az állítás 37/87 és 36/87 között egyetlen eset a különbség: Anna esélye nem kétszerese, hanem kb. 2,8%-kal nagyobb Hubáénál. Az állítás hamis. A „több lány kell” feltétel valóban a lányokat segíti, de a tiltás (Anna–Ferenc pár) épp Annát érinti, ezért az előny csaknem eltűnik.
3. A bizottság tagjai maguk közül elnököt és titkárt választanak. Hányféle kiosztás lehetséges, ha az elnök és a titkár nem azonos nemű? Használd fel, hogy milyen összetételű bizottságok jönnek létre!
Read the worked answer
1. A megengedett bizottságok összetétel szerint (az előző feladat eredményei):
- 2 lány + 2 fiú: 48
- 3 lány + 1 fiú: 34
- 4 lány + 0 fiú: 5 (Összesen 87 ✔)
2. Kiosztások egy bizottságon belül Ha a bizottságban g lány és f fiú van, a nemek különbözőségét úgy biztosítjuk, hogy az elnököt az egyik nemből, a titkárt a másikból választjuk, két sorrendben:
- g · f · 2 kiosztás.
3. Összegzés
- 2 lány, 2 fiú: 2 · 2 · 2 = 8 → 48 · 8 = 384
- 3 lány, 1 fiú: 3 · 1 · 2 = 6 → 34 · 6 = 204
- 4 lány, 0 fiú: 4 · 0 · 2 = 0 → 0 Összesen: 384 + 204 + 0 = 588féle kiosztás.
Ellenőrzés: a „4 lányos” bizottságokban nem lehet különböző nemű párt találni, ezért azoktól 0 a hozzájárulás – ez mutatja, hogy a „legalább két lány” szabály és a „különböző nemű tisztségviselők” szabály együtt szűkíti a lehetőségeket.