Folyó túlpartján lévő pont felmérése: az egyértelműség kérdése
Egy ingatlanfelmérő egy folyó túlpartján álló C pont távolságát szeretné meghatározni. A parton két pontot tűzött ki, A-t és B-t, amelyek távolsága 84,0 m. Az A pontból a C pont 120,0 m-re látszik, a B pontból pedig megmérte a BC irány és a BA irány által bezárt szöget: ez 34,0° lett. A műszer pontossága miatt a hosszakat ±0,2 m, a szöget ±0,5° hibával kell számolni. A felmérőnek meg kell adnia a BC távolságot és a telek területét, de a jegyzőkönyvben azt is igazolnia kell, hogy a kapott háromszög egyértelmű, mert a korábbi felmérésnél épp egy ilyen „két megoldásos” eset okozott pert. A telek értékbecsléséhez a területet 100 m²-re kerekítve kell megadni.
1. Számítsd ki a BC távolságot, és mutasd meg, hogy a megadott adatokból valóban egyetlen háromszög adódik!
Read the worked answer
1. Melyik tétel használható? Adott két oldal (AB = 84,0 m; AC = 120,0 m) és az egyik oldallal szemközti szög (a B-nél lévő 34,0°, amely az AC oldallal szemben van). Ez az úgynevezett „oldal–oldal–szög” eset, ahol a szinusztétel két megoldást is adhat – ezt kötelező ellenőrizni.
2. Szinusztétel a C szögre sin C / AB = sin B / AC → sin C = AB · sin B / AC = 84,0 · sin 34,0° / 120,0. sin 34,0° ≈ 0,55919 → sin C ≈ 46,972 / 120,0 ≈ 0,39144. Innen C ≈ 23,04°, de a szinusz a második negyedben is felveheti ugyanezt: C' ≈ 180° − 23,04° = 156,96°.
3. Az egyértelműség ellenőrzése
- Első eset: A = 180° − 34,0° − 23,04° = 122,96° > 0, tehát érvényes.
- Második eset: A' = 180° − 34,0° − 156,96° = −10,96°, ami lehetetlen. Tehát a második háromszög nem létezik, az adatok egyetlen háromszöget határoznak meg. (Szemléletesen: AC > AB, ezért a C-nél lévő szögnek hegyesszögűnek kell lennie.)
4. BC kiszámítása BC / sin A = AC / sin B → BC = 120,0 · sin 122,96° / sin 34,0° ≈ 120,0 · 0,83906 / 0,55919 ≈ 180,1 m.
2. Mekkora a telek területe, és elfogadható-e a jegyzőkönyvbe írt „4200 m²” érték? Számítsd ki a területet két különböző képlettel is, és hasonlítsd össze!
Read the worked answer
1. Terület az A szöggel T = ½ · AB · AC · sin A = ½ · 84,0 · 120,0 · sin 122,96° = 5040 · 0,83906 ≈ 4228,9 m².
2. Terület a BC oldallal és a B szöggel T = ½ · AB · BC · sin B = ½ · 84,0 · 180,1 · sin 34,0° = 42 · 180,1 · 0,55919 ≈ 42 · 100,69 ≈ 4229,0 m². A két út ugyanazt adja (a kerekítések miatt max. néhány tized m² eltérés), ami jó ellenőrzés: nem számoltunk el sem a szöget, sem az oldalt.
3. A 100 m²-re kerekített érték 4229 m² százra kerekítve 4200 m². Formálisan tehát a jegyzőkönyvi érték megfelel a kerekítés szabályának.
4. Fenntartás A helyes állítás azonban az, hogy „a terület kb. 4230 m²”, mert a 100 m²-es kerekítés olyan pontosságot sugall, amit a mérési hiba (lásd a következő feladatot) nem támaszt alá. A kerekítés önmagában még nem hiba, de az értékbecslésnél a kerekített szám helyett a hibával együtt kellene szerepeltetni.
3. A szögmérés hibája ±0,5°. Számítsd ki a BC távolságot és a területet 34,5°-kal is, majd döntsd el, hogy a mérési hibából származó eltérés meghaladja-e a 0,5%-ot! Elfogadható-e ennek fényében a 100 m²-re kerekítés?
Read the worked answer
1. BC a felső szögértékkel sin 34,5° ≈ 0,56641 → sin C = 84,0 · 0,56641 / 120,0 ≈ 0,39649 → C ≈ 23,36°. Ekkor A ≈ 180° − 34,5° − 23,36° = 122,14°, és sin 122,14° ≈ 0,84678. BC = 120,0 · 0,84678 / 0,56641 ≈ 179,4 m.
2. Összehasonlítás
- BC: 180,1 m helyett 179,4 m → eltérés kb. 0,7 m, azaz 0,39%. Ez még 0,5% alatt van.
- Terület: T = ½ · 84,0 · 179,4 · sin 34,5° = 42 · 179,4 · 0,56641 ≈ 42 · 101,61 ≈ 4267,7 m², szemben a 4228,9 m²-rel.
- Területeltérés: 38,8 m², azaz 0,92% – ez már meghaladja a 0,5%-ot. A terület érzékenyebb, mert a szög szinusza és a belőle kapott oldal egyszerre változik.
3. Következtetés a kerekítésre A ±0,5°-os szögpontosság mellett a terület 4229 m² és 4268 m² között bizonytalan, ami a 100 m²-re kerekítve 4200 és 4300 között ugrál. Vagyis a 100 m²-es kerekítés hamis pontosságot sugall: a jegyzőkönyvbe helyesebb lenne „kb. 4250 m² ± 40 m²” alakban írni, vagy 10 m²-re kerekíteni. Az egyértelműségi igazolás (amit az első feladatban elvégeztünk) a háromszög alakját rögzíti, de a mérési hiba nagyságát nem csökkenti.