Színházjegy-árazás: nyereség vagy bevétel maximalizálása?
Egy 450 fős színházterem jegyárait vizsgálja az üzemeltető. A jelenlegi 1800 Ft-os jegyár mellett átlagosan 420 jegy kel el esténként. Egy korábbi felmérés szerint minden 100 Ft-os áremelés 20 fővel csökkenti az eladott jegyek számát, árcsökkentésnél pedig hasonló arányban nő az érdeklődés. Az egy jegyre jutó változó költség 400 Ft (ruhatár, programfüzet, takarítás), a terem fenntartása pedig esténként 240 000 Ft fix költséget jelent, függetlenül a nézőszámtól. Az árat csak 100 Ft többszöröseként lehet meghirdetni, és a jegyár nem lehet negatív. A nézőszám nem haladhatja meg a terem befogadóképességét. A gazdasági vezető maximalizálni szeretné az esti nyereséget, a marketinges viszont a bevételt szeretné maximalizálni, és azt állítja, hogy a kettő ugyanarra az árra vezet.
1. Írd fel a nyereséget az áremelések k számának függvényében, add meg az értelmezési tartományt, és határozd meg a nyereséget maximalizáló jegyárat!
Read the worked answer
1. Változók Legyen k a 100 Ft-os áremelések száma (k egész). Ekkor:
- ár: p = 1800 + 100k,
- eladott jegyek: q = 420 − 20k.
2. Értelmezési tartomány
- Befogadóképesség: q ≤ 450 → 420 − 20k ≤ 450 → k ≥ −1,5 → k ≥ −1.
- Nem negatív eladás: q ≥ 0 → k ≤ 21.
- Nem negatív ár: p ≥ 0 → k ≥ −18, ez a −1 miatt nem szűkít tovább. Tehát k ∈ {−1, 0, 1, …, 21}, azaz 23 lehetséges ár.
3. Nyereségfüggvény N(k) = (p − 400) · q − 240 000 = (1400 + 100k)(420 − 20k) − 240 000. Kifejtve: (1400 + 100k)(420 − 20k) = 588 000 + 42 000k − 28 000k − 2000k² = 588 000 + 14 000k − 2000k². N(k) = 348 000 + 14 000k − 2000k².
4. Maximum Ez lefelé nyíló parabola, csúcsa k = 14 000 / (2 · 2000) = 3,5. Mivel k egész, a 3 és a 4 jön szóba:
- N(3) = 348 000 + 42 000 − 18 000 = 372 000 Ft,
- N(4) = 348 000 + 56 000 − 32 000 = 372 000 Ft. Két optimális ár van: 2100 Ft és 2200 Ft, mindkettő 372 000 Ft nyereséget ad (a csúcs „két egész között” esik). A 2100 Ft-nál 360, a 2200 Ft-nál 340 jegy kel el, mindkettő belefér a 450 fős terembe.
2. A marketinges a bevételt (nem a nyereséget) maximalizálná. Számítsd ki a bevételt maximalizáló árat, és hasonlítsd össze a nyereségmaximummal! Igaz-e az állítása?
Read the worked answer
1. Bevételi függvény R(k) = p · q = (1800 + 100k)(420 − 20k) = 756 000 + 42 000k − 36 000k − 2000k² = 756 000 + 6000k − 2000k².
2. Bevételmaximum Csúcs: k = 6000 / 4000 = 1,5 → egész k esetén k = 1 vagy k = 2:
- R(1) = 756 000 + 6000 − 2000 = 760 000 Ft (1900 Ft-os ár, 400 jegy),
- R(2) = 756 000 + 12 000 − 8000 = 760 000 Ft (2000 Ft-os ár, 380 jegy).
3. Nyereség ugyanezeknél az áraknál
- N(1) = 348 000 + 14 000 − 2000 = 360 000 Ft,
- N(2) = 348 000 + 28 000 − 8000 = 368 000 Ft. Mindkettő elmarad a 372 000 Ft-tól: 12 000, illetve 4000 Ft-tal.
4. Az állítás értékelése Az állítás hamis: a bevételmaximum 1900–2000 Ft-nál van, a nyereségmaximum 2100–2200 Ft-nál. A különbség oka a 400 Ft/jegy változó költség: a bevétel nem veszi figyelembe, hogy minden eladott jegy 400 Ft-ba kerül, ezért a bevételmaximalizálás túl alacsony árat javasol. (A fix költség a döntést nem befolyásolja, mert minden változatban ugyanannyi.)
3. A vezető szerint „ha 250 000 Ft nyereséget akarunk elérni, elég, ha az árat 2000 Ft közelében tartjuk”. Számold ki, mely árak mellett éri el a nyereség a 250 000 Ft-ot, és hogyan változik a válasz, ha a fix költség 300 000 Ft-ra nő?
Read the worked answer
1. Egyenlőtlenség felírása (240 000 Ft fix költségnél) 348 000 + 14 000k − 2000k² ≥ 250 000 → −2000k² + 14 000k + 98 000 ≥ 0 → osztva (−2000)-rel, megfordul a reláció: k² − 7k − 49 ≤ 0.
2. Megoldás k² − 7k − 49 = 0 → k = (7 ± √(49 + 196)) / 2 = (7 ± √245) / 2 ≈ (7 ± 15,652) / 2. Gyökök: k₁ ≈ 11,33, k₂ ≈ −4,33. Mivel a parabola felfelé nyílik, az egyenlőtlenség a gyökök között teljesül: −4,33 ≤ k ≤ 11,33. Az értelmezési tartománnyal (−1 ≤ k ≤ 21) összevetve: k = −1, 0, 1, …, 11, azaz 1700 Ft és 2900 Ft közötti (100 Ft többszörös) árak. Ellenőrzés: N(11) = 348 000 + 154 000 − 242 000 = 260 000 ≥ 250 000; N(12) = 348 000 + 168 000 − 288 000 = 228 000 < 250 000 ✔.
3. A fix költség növelése 300 000 Ft-ra 300 000 + 14 000k − 2000k² ≥ 250 000 → −2000k² + 14 000k + 50 000 ≥ 0 → k² − 7k − 25 ≤ 0. k = (7 ± √(49 + 100)) / 2 = (7 ± √149) / 2 ≈ (7 ± 12,207) / 2 → k₁ ≈ 9,60, k₂ ≈ −2,60. Tehát most k ≤ 9, azaz legfeljebb 2700 Ft-os ár mellett érhető el a 250 000 Ft nyereség.
4. Értékelés A vezető állítása erősen leszűkíti a lehetőségeket: valójában a 1700–2900 Ft (drágább fenntartásnál 1700–2700 Ft) sávban minden ár hoz legalább 250 000 Ft-ot. A fix költség 60 000 Ft-os növekedése két árlépcsővel (kb. 200 Ft-tal) tolja lefelé a felső korlátot – ez mutatja, hogy a fedezeti jellegű döntéseknél a fix költség nem elhanyagolható, még akkor sem, ha a nyereségmaximum helyét nem változtatja meg.