Függvények, sorozatok
Függvények, sorozatok
A Függvények, sorozatok domain az értelmezési tartomány, értékkészlet, függvénytranszformációk, inverz, exponenciális és logaritmusos kapcsolatok, valamint a számtani és mértani sorozatok kezelését kéri számon. Gyakori a grafikonról leolvasás, a képlet felírása és a sorozat első n tagjának összege.
Alapszabályok
- Az f(x) = a(x−u)^2 + v alak csúcsos alak; az x ↦ f(x−u) jobbra tol, az a negatívja tükröz.
- Exponenciális függvénynél az alap >0, ≠1; logaritmus argumentuma >0, az alap >0, ≠1.
- Számtani sorozat: a_n = a_1 + (n−1)d, S_n = n(a_1+a_n)/2.
- Mértani sorozat: b_n = b_1 q^(n−1), S_n = b_1(q^n−1)/(q−1), ha q≠1.
Kidolgozott példa
Legyen b_n = 3·2^(n−1). Melyik a legkisebb n, amelyre S_n > 1000? S_n = 3(2^n−1). A feltétel: 3(2^n−1) > 1000, azaz 2^n > 334,33. Mivel 2^8=256 és 2^9=512, a legkisebb n = 9. Ellenőrzés: S_9=3(512−1)=1533 > 1000, S_8=3(256−1)=765 < 1000. A gondolatmenet lényege, hogy a sorozatösszeget egyetlen exponenciális kifejezéssé alakítjuk, majd becsléssel vagy logaritmussal oldjuk meg.
Csapdák
Az indexelés: n=1 az első tag, ezért a kitevő n−1. A q=1 esetet külön kell kezelni. Függvénynél a domain leszűkítése nélkül írt inverz hibás; a logaritmusos egyenletnél a gyököket az eredeti értelmezési tartományon ellenőrizni kell.