Geometria, trigonometria, koordinátageometria
Geometria, trigonometria, koordinátageometria
Ez a domain síkgeometriai számításokat, szögfüggvényeket, szinusz- és koszinusztételt, vektorokat, egyenesek és körök koordinátás egyenleteit kéri. Az érettségin gyakran kell ábrát értelmezni, hosszt vagy szöget számolni, illetve egyenest és kört metszeni.
Alapszabályok
- Derékszögű háromszögben sin α = szemben lévő befogó/átfogó, cos α = melletti befogó/átfogó, tg α = szemben lévő/melletti.
- Koszinusztétel: c² = a² + b² − 2ab cos γ. Szinusztétel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ.
- Háromszög területe: T = (1/2)ab sin γ; koordinátákkal a csúcsokból számolt determináns is használható.
- Egyenes: y = mx + b, ahol m = Δy/Δx; két ponton átmenő egyenesnél először a meredekséget számold. Kör: (x−u)² + (y−v)² = r².
Kidolgozott példa
Egy háromszög két oldala 7 cm és 8 cm, a közbezárt szög 60°. Mekkora a harmadik oldal? A koszinusztétel szerint c² = 7² + 8² − 2·7·8·cos 60° = 49 + 64 − 112·0,5 = 113 − 56 = 57. Így c = √57 ≈ 7,55 cm. Ellenőrzés: a szög hegyesszög, ezért a harmadik oldalnak 1 cm-nél nagyobbnak és 15 cm-nél kisebbnek kell lennie; 7,55 megfelel. Ha a szöget fokban adták, a számológépet fokmódban kell használni.
Csapdák
A szinusztételnél a tompaszögű megoldás elveszhet, ezért a szögösszeg és az oldalak ellenőrzése kötelező. Koordinátageometriában a kör egyenletében az (x−u) előjelét sokan elrontják. Merőleges egyenesek meredekségének szorzata −1; párhuzamosoknál egyenlő. Területnél a magasságot a megfelelő alaphoz kell venni.