Algebra, egyenletek, egyenlőtlenségek
Algebra, egyenletek, egyenlőtlenségek
Ez a domain az algebrai átalakítások, lineáris és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, racionális, gyökös, exponenciális és logaritmikus egyenletek, valamint egyenlőtlenségek biztonságos megoldását méri. A hangsúly az ekvivalencián és az ellenőrzésen van.
Alapszabályok
- Négyzetre emelés, szorzás nullával, logaritmus alkalmazása nem feltétlenül ekvivalens; az eredeti egyenletbe vissza kell helyettesíteni.
- Másodfokú: ax²+bx+c=0, diszkrimináns D=b²−4ac; gyökök x=(−b±√D)/(2a).
- Előjeltáblázat: a tényezők előjelét intervallumonként nézd; a nevező zérushelye nem lehet megoldás.
- Abszolút érték: |x−a|=d esetén x−a=d vagy x−a=−d, ha d≥0.
Kidolgozott példa
Oldd meg: √(2x+3) = x. A gyök miatt x ≥ 0 szükséges (a jobb oldal nemnegatív), és 2x+3 ≥ 0. Négyzetre emelve: 2x+3 = x², azaz x²−2x−3=0. Gyökök: x=3 és x=−1. Ellenőrzés: x=3 esetén √9=3, jó; x=−1 esetén √1=1, de a jobb oldal −1, ezért hamis gyök. A megoldás csak x=3. A példa mutatja, hogy a négyzetre emelés bővítheti a megoldáshalmazt.
Csapdák
A gyökös egyenletnél a domain és a jobb oldal előjelének ellenőrzése marad el. Egyenlőtlenségnél negatív számmal szorozva megfordul a reláció. Logaritmusnál az argumentum >0 feltétel nélkül kapott gyök hamis. Törtes egyenletnél a kizárt nevezőket mindig írd ki.