Kochi Entrance Mathematics cheat sheet
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数と式・二次関数
二次方程式 ax²+bx+c=0 の判別式 D=b²−4ac について、D>0 は異なる2実解、D=0 は重解、D<0 は実数解なし。
頂点形 y=a(x−p)²+q の頂点は (p,q)、軸は x=p。a>0 で下に凸、a<0 で上に凸。
解と係数の関係：二次方程式 ax²+bx+c=0 の二解 α,β に対し α+β=−b/a、αβ=c/a。
二次不等式は y=a(x−α)(x−β) の符号表で解く。a>0 なら外側が正、内側が負。
平方完成：ax²+bx+c=a(x+b/(2a))²+c−b²/(4a)。
a>0 のとき |x|<a ⇔ −a<x<a、|x|>a ⇔ x<−a または x>a。
a,b>0 に対し a+b≥2√(ab)。等号は a=b のときに限る。
有理化は (√a−√b)(√a+√b)=a−b を利用する。
因数定理：多項式 P(x) について P(α)=0 ⇔ P(x) は x−α で割り切れる。
三角比・三角関数
sin²θ+cos²θ=1、tanθ=sinθ/cosθ（cosθ≠0）、1+tan²θ=1/cos²θ。
30°：sin=1/2、cos=√3/2、tan=1/√3。45°：sin=cos=√2/2、tan=1。60°：sin=√3/2、cos=1/2、tan=√3。
正弦定理：a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R（R は外接円の半径）。
余弦定理：a²=b²+c²−2bc cos A。
三角形の面積：S=½bc sin A。
sinθ=s の一般解は θ=α+2kπ または θ=π−α+2kπ。cosθ=c は θ=±α+2kπ。tanθ=t は θ=α+kπ。
y=a sin(b(θ−p))+q の振幅は |a|、周期は 2π/|b|、位相は p、上下移動は q。
加法定理：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB、cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
弧長 l=rθ、扇形の面積 S=½r²θ（θ はラジアン）。
指数関数・対数関数
a>0 のとき a^m a^n=a^{m+n}、(a^m)^n=a^{mn}、a^0=1、a^{−n}=1/a^n。
x>0、y>0 のとき log_a(xy)=log_a x+log_a y、log_a(x/y)=log_a x−log_a y、log_a x^r=r log_a x。
底の変換：a,c>0、a,c≠1、b>0 のとき log_a b=log_c b/log_c a。
log_a x の定義域は x>0。底は a>0 かつ a≠1。
y=a^x は a>1 で増加、0<a<1 で減少し、常に点 (0,1) を通る。
y=log_a x は y=a^x の逆関数で、点 (1,0) を通る。
a^x=a^y ⇔ x=y。log_a x=log_a y ⇔ x=y>0。
底 a>1 では log_a x<log_a y ⇔ x<y。0<a<1 では不等号の向きが逆転する。
a^{f(x)}=a^{g(x)} は底をそろえて f(x)=g(x) に帰着させる。
数列と級数
等差数列：a_n=a_1+(n−1)d、S_n=n/2(a_1+a_n)=n/2{2a_1+(n−1)d}。
等比数列：a_n=a_1 r^{n−1}、S_n=a_1(1−r^n)/(1−r)（r≠1）。
|r|<1 の無限等比級数の和は S=a_1/(1−r)。
Σk=n(n+1)/2、Σk²=n(n+1)(2n+1)/6、Σk³={n(n+1)/2}²。
Σ(pa_k+qb_k)=pΣa_k+qΣb_k。
1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1) は telescoping に利用できる。
a_{n+1}=pa_n+q は α=pα+q を満たす α を用い、b_n=a_n−α と置くと等比型になる。
正数 a,b に対し a+b≥2√(ab)。等号は a=b のときに限る。
階差数列：a_n=a_1+Σ_{k=1}^{n−1} b_k（n≥2、b_k=a_{k+1}−a_k）。
極限・微分
lim_{x→0} sin x/x=1、lim_{x→0}(1−cos x)/x²=1/2。
lim_{x→0}(e^x−1)/x=1、lim_{x→0} log(1+x)/x=1。
微分係数：f'(a)=lim_{h→0}{f(a+h)−f(a)}/h。
(x^n)'=nx^{n−1}、(sin x)'=cos x、(cos x)'=−sin x、(tan x)'=1/cos²x。
(e^x)'=e^x、(a^x)'=a^x log a、(log x)'=1/x、(log_a x)'=1/(x log a)。
積の微分 (fg)'=f'g+fg'、商の微分 (f/g)'=(f'g−fg')/g²、合成関数 {f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)。
接線の方程式：y−f(a)=f'(a)(x−a)。
f'(x) の符号で増減、f''(x) の符号で凹凸を判定する。極値は f'=0 かつ符号変化で判定。
0/0 または ∞/∞ の不定形では、条件を確認してロピタルの定理を利用できる。
積分・面積・体積
∫x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C（n≠−1）、∫1/x dx=log|x|+C。
∫e^x dx=e^x+C、∫sin x dx=−cos x+C、∫cos x dx=sin x+C。
定積分：F'=f のとき ∫_a^b f(x)dx=F(b)−F(a)。
曲線 y=f(x) と x 軸の間の面積は ∫_a^b |f(x)|dx。
2曲線の間の面積は、区間内で f≥g なら ∫_a^b {f(x)−g(x)}dx。
置換積分：u=g(x) と置くと ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du。定積分では積分区間も変換する。
部分積分：∫u v' dx=uv−∫u'v dx。
x 軸回転体の体積：V=π∫_a^b {f(x)}²dx。
偶関数は ∫_{−a}^a f(x)dx=2∫_0^a f(x)dx、奇関数は 0。
ベクトル・複素数平面
ベクトル a=(a1,a2)、b=(b1,b2) の内積は a·b=a1b1+a2b2=|a||b|cosθ。
a⊥b ⇔ a·b=0。|a|²=a·a。
2次元の外積の大きさ |a1b2−a2b1| は平行四辺形の面積。
複素数 z=a+bi の絶対値 |z|=√(a²+b²)、偏角 arg z は実軸からの角。
積 z1z2 は絶対値を掛け偏角を足す。商は絶対値を割り偏角を引く。
ド・モアブル：(cosθ+i sinθ)^n=cos nθ+i sin nθ。
|z−α|=r は α を中心とする半径 r の円。
|z−α|=|z−β| は α と β の垂直二等分線。
共役複素数を z̄ とすると z z̄=|z|²、1/z=z̄/|z|²（z≠0）。
確率・統計・整数
P(A^c)=1−P(A)、P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)。
条件付き確率：P(B)>0 のとき P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。独立なら P(A∩B)=P(A)P(B)。
E(X)=ΣxP(X=x)、V(X)=E(X²)−{E(X)}²。
二項分布 B(n,p) の平均は np、分散は np(1−p)。
標準化：z=(x−μ)/σ。平均・中央値・最頻値は分布の代表値。
ユークリッドの互除法で gcd(a,b) を求める。ax+by=gcd(a,b) は整数解をもつ。
a≡b (mod m) なら a+c≡b+c、ac≡bc (mod m)。
p が素数で p∤a のとき a^{p−1}≡1 (mod p)（フェルマーの小定理）。
n=p^e q^f の正の約数の個数は (e+1)(f+1)。