Kochi Entrance Mathematics study guide
Kochi Entrance Mathematics · Work through your exam, one topic at a time.
高知大学の個別学力検査「数学」は、同大学が大学入学共通テストとは別に実施する二次試験の一つで、理学部・医学部・農学部などの理系学部・学科を志望する受験生が主な対象です。合否は共通テストの結果とこの個別学力検査を組み合わせて判定される方式が一般的ですが、必須科目や配点比率は学部・学科ごとに異なるため、志望する課程の学生募集要項で確認してください。出題範囲は数学I・A・II・B・III・Cにわたり、二次関数や三角関数、指数・対数、数列といった基礎分野から、微分積分、ベクトル、複素数平面、確率、整数の性質まで、計算と論証を組み合わせた多段構成の問題が中心です。大問ごとに(1)の基本計算から(3)の論証へと難易度が上がり、前問の結果を後の問いで使う誘導形式も多いので、その流れに慣れておくと得点が安定します。 記述式であるため、答えの数値だけでなく、立式の根拠、場合分けの理由、不等式の等号成立条件まで採点対象になります。したがって「解ける」だけでなく「読み手に伝わる答案を書ける」状態まで仕上げることが重要です。対策は、教科書の例題で定義と基本操作を固める、入試標準レベルの問題集で典型処理を身につける、時間を計って過去問や類題を解き第三者に添削してもらう、という三段階が現実的です。数学IIIまで範囲に含む場合は計算量が増えるので、日頃から手を動かして速度と正確さを両立させておくと当日の時間配分に余裕が生まれます。最新の日程・範囲・配点は高知大学公式サイトの募集要項で確認してください。本ページは非公式の学習ガイドであり、大学とは関係ありません。. The Kochi Entrance Mathematics study guide has 8 sections and about 1,037 words.
01数と式・2次関数
数と式では、展開・因数分解、無理数を含む式の計算、絶対値、2次方程式と2次不等式が問われる。2次関数では平方完成による頂点・軸の把握、定義域を制限したときの最大最小、グラフと x 軸の共有点の位置（解の配置）が中心になる。計算の正確さと場合分けの網羅性がそのまま点数になる分野である。 展開：(a±b)² = a²±2ab+b²、(a+b)(a-b) = a²-b²、(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab、(a±b)³ = a³±3a²b+3ab²±b³。 因数分解：たすき掛け、a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)。 二重根号：√(a+b+2√(ab)) = √a+√b（a 0、b 0）。内側の積が ab、和が a+b になる2数を探す。 分母の有理化：1/(√a+√b) = (√a-√b)/(a-b)。 絶対値： X は X≥0 なら X、X<0 なら -X。場合分けの境界を必ず書く。 y = ax²+bx+c を y = a(x-p)²+q に変形すると、軸は直線 x=p、頂点は (p, q)。a 0 なら頂点で最小、a<0 なら頂点で最大。定義域が m≤x≤n に制限されているときは、軸 x=p が m より左、定義域の内部、n より右の3通りで場合分けする。2次不等式は放物線が x 軸の上か下かで読み取る。 y = x²-4x+5（0≤x≤3）の最大値・最小値を求める。平方完成すると y = (x-2)²+1。軸 x=2 は定義域の内部にあるので、最小値は x=2 のとき 1。軸から遠い端点は x=0 なので、最大値は x=0 のとき 5。よって最小値 1（x=2）、最大値 5（x=0）。 平方完成で定数の調整を誤る、定義域付きの最大最小で端点と頂点の比較を落とす、文字係数の式を両辺で割って解を失う、判別式 D=0 を「解が1個」と数えるか「重解」と呼ぶかの区別。. 2次不等式は放物線と x 軸の上下関係で答える.
94 words, under 1 min02三角比・三角関数
三角比は直角三角形から始まり、鈍角・一般角へ拡張される。試験では弧度法、三角比の相互関係、加法定理とその派生物（2倍角・合成）、三角方程式・三角不等式、三角関数のグラフが問われる。角度と値の対応を単位円で即座に思い出せるかが勝負どころである。 弧度法：180° = π、扇形の弧長 l = rθ、面積 S = (1/2)r²θ（θ はラジアン）。 相互関係：sin²θ+cos²θ = 1、tanθ = sinθ/cosθ、1+tan²θ = 1/cos²θ。 加法定理：sin(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ、cos(α±β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ。 2倍角：sin2θ = 2sinθcosθ、cos2θ = 1-2sin²θ = 2cos²θ-1。 合成：a sinθ+b cosθ = √(a²+b²) sin(θ+α)。ここで cosα = a/√(a²+b²)、sinα = b/√(a²+b²)。 sin²θ と cos²θ が混ざった式は、sin²θ = 1-cos²θ で1種類に統一してから因数分解する。解は単位円上で該当する角をすべて拾い、指定範囲（0≤θ<2π など）で答える。一般解を問われたら θ = α+2nπ の形で書く。 0≤θ<2π で 2sin²θ+3cosθ-3 = 0 を解く。sin²θ = 1-cos²θ を代入すると 2-2cos²θ+3cosθ-3 = 0、整理して 2cos²θ-3cosθ+1 = 0、(2cosθ-1)(cosθ-1) = 0。cosθ = 1/2 から θ = π/3、5π/3。cosθ = 1 から θ = 0。よって θ = 0、π/3、5π/3。 cosθ = 1/2 で π/3 だけ答えて 5π/3 を落とす、合成後の角 α の象限を取り違える、tan の定義域（cosθ≠0）を無視する、度数法と弧度法を混ぜる。. 弧度法では弧長 l=rθ、面積 S=(1/2)r²θ を使う.
130 words, under 1 min03指数関数・対数関数
指数法則の拡張（0乗・負の指数・有理数乗）、指数関数のグラフと大小比較、対数の定義と計算法則、底の変換、指数方程式・対数方程式、常用対数を使った桁数・小数首位の問題が問われる。底の大きさで単調性が変わる点が最大のポイントである。 a^m·a^n = a^{m+n}、(a^m)^n = a^{mn}、(ab)^n = a^n b^n、a^0 = 1、a^{-n} = 1/a^n、a^{m/n} = ⁿ√(a^m)。いずれも a 0、a≠1 が前提である。 log a b は a^c = b を満たす c。真数条件 b 0、底の条件 a 0、a≠1 を答案の最初に書く。 log a MN = log a M + log a N、log a(M/N) = log a M - log a N、log a M^k = k log a M。 底の変換：log a b = log c b / log c a。 常用対数：N が n 桁 ⇔ n-1 ≤ log₁₀N < n。 a 1 のとき a^x も log a x も単調増加、0<a<1 のときは単調減少。したがって指数・対数不等式では、底が1より小さいと不等号の向きが反転する。t = 2^x と置くときは t 0 という条件を必ず添える。 log₂(x-1)+log₂(x+2) = 2 を解く。真数条件は x-1 0 かつ x+2 0 より x 1。左辺をまとめると log₂(x-1)(x+2) = 2、すなわち (x-1)(x+2) = 4。展開して x²+x-6 = 0、(x+3)(x-2) = 0 より x = -3、2。x 1 を満たすのは x = 2 のみ。 真数条件の確認を忘れて x = -3 を残す、底が1より小さい不等式で向きを反転し忘れる、置き換えた t の範囲を落とす、log の和を積にまとめたときの同値性の確認漏れ。. t=a^x と置いたら t 0 を必ず添える.
161 words, under 1 min04数列
等差数列・等比数列の一般項と和、Σ の公式、階差数列、漸化式（等差型・等比型・a {n+1} = p a n + q 型・分数型）、数学的帰納法が問われる。n の範囲と初項の扱いが得点を分ける。 等差：a n = a₁+(n-1)d、S n = n(a₁+a n)/2 = n{2a₁+(n-1)d}/2。 等比：a n = a₁ r^{n-1}、r≠1 のとき S n = a₁(1-r^n)/(1-r)、r = 1 のとき S n = n a₁。 Σ：Σk = n(n+1)/2、Σk² = n(n+1)(2n+1)/6、Σk³ = {n(n+1)/2}²。 階差数列：b n = a {n+1}-a n のとき、a n = a₁ + Σ {k=1}^{n-1} b k（n≥2）。 a {n+1} = p a n + q（p≠1）は α = pα+q を解いて α を求め、a {n+1}-α = p(a n-α) の形に変形する。すると {a n-α} は公比 p の等比数列になる。a {n+1} = p a n +（n の式）は両辺を p^{n+1} で割るか、階差型に持ち込む。 a₁ = 1、a {n+1} = 2a n+3 の一般項を求める。α = 2α+3 より α = -3。もとの式から辺々引くと a {n+1}+3 = 2(a n+3)。よって {a n+3} は初項 a₁+3 = 4、公比 2 の等比数列で、a n+3 = 4·2^{n-1} = 2^{n+1}。したがって a n = 2^{n+1}-3。n=1 を代入すると 1 で初項に一致する。 階差数列で n≥2 の断りと n=1 の検算を忘れる、等比の和で r=1 の場合分けを落とす、Σ の上限を n と n-1 で混同する、帰納法で仮定を使う瞬間を明記しない。. 階差数列は n≥2 で書き、n=1 を別に検算する.
172 words, under 1 min05極限と微分
数列・関数の極限（はさみうち、無限等比級数）、微分係数の定義、各種の導関数、接線の方程式、増減表と極値、閉区間での最大最小が問われる。計算そのものより「何を求めるために微分するか」の判断が問われる。 r <1 のとき r^n → 0。無限等比級数は r <1 のとき a/(1-r)。 分数式の極限は最高次数で割る。∞-∞ や 0/0 の形は有理化か因数分解で解消する。 はさみうち：a n ≤ b n ≤ c n で a n、c n が同じ値に収束すれば b n も同じ値に収束する。 (x^n)' = n x^{n-1}、(sin x)' = cos x、(cos x)' = -sin x、(e^x)' = e^x、(log x)' = 1/x。積 (fg)' = f'g+fg'、合成関数 {f(g(x))}' = f'(g(x))g'(x)。微分係数の定義は f'(a) = lim {h→0} {f(a+h)-f(a)}/h。 曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線は y - f(a) = f'(a)(x-a)。f'(x) の符号が + から - に変われば極大、- から + なら極小。閉区間の最大最小は極値と両端の値をすべて比較する。 f(x) = x³-3x の極値を求める。f'(x) = 3x²-3 = 3(x-1)(x+1)。f'(x) = 0 となるのは x = ±1。x<-1 で f' 0、-1<x<1 で f'<0、x 1 で f' 0。よって x = -1 で極大値 f(-1) = -1+3 = 2、x = 1 で極小値 f(1) = 1-3 = -2。 極値と最大最小を混同する、区間の端点の比較を忘れる、接点の x 座標を求めずに接線を書く、微分の定義式を係数込みで正しく書けない。. 接線は接点の座標と傾き f'(a) の両方が必要.
142 words, under 1 min06積分と面積・体積
不定積分・定積分の計算、置換積分と部分積分、偶関数・奇関数の対称性、曲線で囲まれた面積、回転体の体積が問われる。どの関数が上か、どの区間かの立式ができれば計算は軽い。逆に立式を誤ると全滅する。 ∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C（n≠-1）、∫(1/x)dx = log x +C。 定積分：∫ a^b f(x)dx = F(b)-F(a)（F は f の原始関数）。 置換積分：u = g(x) と置くと dx = du/g'(x)。定積分では積分区間も u で置き換える。 部分積分：∫f'g dx = fg - ∫fg' dx。 対称性：偶関数なら ∫ {-a}^{a} f dx = 2∫ 0^a f dx、奇関数なら 0。 2曲線 y = f(x)、y = g(x) の間の面積は ∫ a^b f(x)-g(x) dx。上下が入れ替わるなら交点で区間を分ける。α<β のとき ∫ α^β (x-α)(β-x)dx = (β-α)³/6。断面積 S(x) がわかれば体積は ∫ a^b S(x)dx、x 軸回転体は V = π∫ a^b {f(x)}²dx。 y = x と y = x² で囲まれた部分の面積を求める。交点は x² = x より x = 0、1。0≤x≤1 では x ≥ x² なので、面積 = ∫ 0^1 (x-x²)dx = [x²/2 - x³/3] 0^1 = 1/2 - 1/3 = 1/6。 上下を確かめずに引く、交点で区間を分け忘れる、置換積分で dx の変換と積分区間の変更を落とす、回転体で内側の半径を引き忘れる、最後に π を掛け忘れる。. 回転体は π∫(外側²-内側²)dx で内側を引き忘れない.
131 words, under 1 min07ベクトルと複素数平面
平面ベクトルでは成分表示、内積、平行・垂直条件、位置ベクトルと内分・外分、共線条件、ベクトル方程式。複素数平面では四則計算、共役複素数と絶対値、極形式、ド・モアブルの定理、回転と軌跡が問われる。 a = (a₁, a₂)、b = (b₁, b₂) のとき、a·b = a₁b₁+a₂b₂ = a b cosθ。また a ² = a·a。a∥b ⇔ a₁b₂-a₂b₁ = 0、a⊥b ⇔ a·b = 0。内分点は (nb+ma)/(m+n)、外分点は (nb-ma)/(n-m)。 i² = -1。z = a+bi の共役は z̄ = a-bi、 z = √(a²+b²)、z z̄ = z ²。割り算は分母の共役を掛けて実数化する。極形式 z = r(cosθ+i sinθ) では積の偏角は和、商の偏角は差になる。z に (cosθ+i sinθ) を掛けると原点を中心に θ 回転する。 a = (1, 2)、b = (3, -1) のなす角 θ を求める。a·b = 1·3+2·(-1) = 1。 a = √5、 b = √10。よって cosθ = 1/(√5·√10) = 1/(5√2) = √2/10。 大きさの2乗と内積を混同する、なす角の範囲 0≤θ≤π を忘れる、複素数の割り算で共役を掛け忘れる、回転の向き（反時計回りが正）を逆にする、軌跡で分母が0になる点の除外を忘れる。. 内積は a·b= a b cosθ と成分計算の両方で使えるようにする.
91 words, under 1 min08確率・統計・整数の性質
場合の数（順列・組合せ）、確率の基本性質と余事象、独立試行と反復試行、条件付き確率、期待値、データの分析（分散・標準偏差・相関係数）、整数の性質（約数・倍数、互除法、不定方程式、合同式）が問われる。 順列 nPr = n!/(n-r)!、組合せ nCr = nPr/r!。 P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)、余事象 P(Ā) = 1-P(A)。 反復試行：nCr p^r (1-p)^{n-r}。 分散 V = (1/n)Σ(x i-x̄)² = (1/n)Σx i² - x̄²、標準偏差 s = √V。相関係数 r は -1≤r≤1 の値をとる。 互除法：a を b で割った余りを r とすると gcd(a, b) = gcd(b, r)。 不定方程式 ax+by = c は gcd(a, b) が c を割るとき解をもつ。1組見つけてから一般解を書く。 合同式：a≡b (mod m) ⇔ a-b が m の倍数。余りの世界で足し算・掛け算ができる。 7x+11y = 1 の整数解を1組求める。11 = 7·1+4、7 = 4·1+3、4 = 3·1+1。これを逆にたどると 1 = 4-3 = 4-(7-4) = 2·4-7 = 2(11-7)-7 = 2·11-3·7。よって x = -3、y = 2 が1組の解である。 「同様に確からしい」の確認をせずに場合の数を数える、区別する・しないを混同する、余事象で数え漏らす、分散の割る数を n-1 と混同する、整数解で1組だけ書いて一般解を出さない。. 分散は (1/n)Σx² - x̄² でも計算できる.
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