Kochi Entrance Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

判別式

二次方程式 ax²+bx+c=0 の判別式 D=b²−4ac は、D>0 で異なる二つの実数解、D=0 で重解、D<0 で実数解なしを与える。

解と係数の関係

二次方程式 ax²+bx+c=0 の二解を α,β とすると、α+β=−b/a、αβ=c/a が成り立つ。係数から対称式の値を求めるときに使う。

平方完成

ax²+bx+c を a(x+b/(2a))²+c−b²/(4a) の形に変形すること。二次関数の頂点や最大・最小を求める基本操作である。

相加相乗平均

正の数 a,b に対して a+b≥2√(ab) が成り立ち、等号は a=b のときに限る。和の最小値や積の最大値を求める不等式である。

正弦定理

三角形 ABC の外接円の半径を R とすると、a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R が成り立つ。辺と対角、外接円半径の関係を与える。

余弦定理

三角形 ABC において a²=b²+c²−2bc cos A が成り立つ。二辺とその間の角から第三辺を求めるときや、角を求めるときに用いる。

三角関数の周期性

sinθ と cosθ の周期は 2π、tanθ の周期は π である。三角方程式の一般解は、基本解に周期の整数倍を加えて表す。

加法定理

sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB、cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB を与える定理。倍角公式や積和公式の導出にも使う。

対数の積の法則

a>0、a≠1、x>0、y>0 のとき log_a(xy)=log_a x+log_a y が成り立つ。積を和に変える公式で、底の変換とともに使う。

底の変換公式

a,b,c>0、a,c≠1 のとき log_a b=log_c b/log_c a が成り立つ。異なる底の対数を同じ底にそろえて計算するときに用いる。

指数関数のグラフ

y=a^x は a>1 なら単調増加、0<a<1 なら単調減少で、常に点 (0,1) を通る。x 軸を漸近線にもち、値域は正の実数全体である。

対数不等式の向き

底 a>1 では log_a x<log_a y ⇔ x<y である。0<a<1 では不等号の向きが逆になる。真数条件 x>0、y>0 を先に確認する。

等差数列の和

初項 a、公差 d、項数 n の等差数列の和は S_n=n/2{2a+(n−1)d} である。末項を l とすると S_n=n/2(a+l) とも書ける。

無限等比級数

初項 a、公比 r の無限等比級数は |r|<1 のとき収束し、和は a/(1−r) である。|r|≥1 のときは収束しない。

階差数列

数列 {a_n} の階差を b_n=a_{n+1}−a_n とすると、n≥2 で a_n=a_1+Σ_{k=1}^{n−1} b_k が成り立つ。階差が簡単な数列の一般項を求める。

漸化式の特性方程式

a_{n+1}=pa_n+q（p≠1）は α=pα+q を満たす α を求め、b_n=a_n−α と置くと b_{n+1}=p b_n の等比数列になる。

微分係数

関数 f の x=a における微分係数は f'(a)=lim_{h→0}{f(a+h)−f(a)}/h で定義される。グラフの接線の傾きを表す。

合成関数の微分

合成関数 y=f(g(x)) の導関数は {f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x) である。外側の微分に内側の微分を掛ける操作で、連鎖律とも呼ばれる。

ロピタルの定理

lim f(x)/g(x) が 0/0 または ∞/∞ の不定形で、f,g が微分可能なら lim f'/g' を調べる。適用条件の確認が必要である。

極値の判定

f'(a)=0 で、x=a の前後で f' の符号が正から負に変われば f(a) は極大、負から正に変われば極小である。

定積分と面積

f(x)≥0 のとき、曲線 y=f(x) と x 軸、直線 x=a、x=b で囲まれた面積は ∫_a^b f(x)dx で与えられる。

置換積分

u=g(x) と置くと du=g'(x)dx なので ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du となる。定積分では積分区間も u に変換する。

部分積分

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)−∫u'(x)v(x)dx が成り立つ。多項式と指数関数、対数関数などの積の積分で使う。

回転体の体積

曲線 y=f(x)（a≤x≤b）を x 軸の周りに回転してできる体積は V=π∫_a^b {f(x)}²dx である。断面は半径 |f(x)| の円である。

内積と垂直条件

a·b=|a||b|cosθ で、a⊥b は a·b=0 と同値である。成分表示では a·b=a1b1+a2b2 で計算する。

複素数の絶対値

z=a+bi の絶対値は |z|=√(a²+b²) で、複素平面上の原点からの距離を表す。共役複素数 z̄ を用いると z z̄=|z|² である。

ド・モアブルの定理

(cosθ+i sinθ)^n=cos nθ+i sin nθ が成り立つ。複素数の累乗では絶対値が n 乗され、偏角が n 倍される。

複素数の軌跡

|z−α|=r は点 α を中心とする半径 r の円を表す。|z−α|=|z−β| は二点 α,β からの距離が等しい点の軌跡、すなわち垂直二等分線である。

条件付き確率

P(B)>0 のとき P(A|B)=P(A∩B)/P(B) である。B が起こったという条件のもとで A が起こる確率を表す。

期待値と分散

離散型確率変数で E(X)=ΣxP(X=x)、V(X)=E(X²)−{E(X)}² である。分散は平均からの散らばりの大きさを表す。

二項分布

成功確率 p の試行を n 回独立に繰り返すとき、成功回数 X は二項分布 B(n,p) に従い、E(X)=np、V(X)=np(1−p) である。

ユークリッドの互除法

整数 a,b について a=bq+r と表すとき gcd(a,b)=gcd(b,r) が成り立つ。これを余りが 0 になるまで繰り返して最大公約数を求める。