Kochi Entrance Mathematics common mistakes
Kochi Entrance Mathematics · Understand the traps and how to avoid them.
x²−x−6<0 のような二次不等式で、グラフを描かずに「<0 なら交点の外側」と処理して x<−2, 3<x と答える。−x²+4x−3>0 のように最高次の係数が負の式でも同じ処理をして、不等号の向きを反転させない。
「外側/内側」という語呂だけを覚えており、そのルールが「最高次の係数が正」のときにしか成り立たないことを意識していない。時間短縮のため頭の中だけで処理してしまう。
What to do instead
①最高次の係数が負なら両辺に−1を掛けて正に直し、不等号の向きを反転させる。②因数分解して x 軸との交点を求め、下に凸の放物線の概形を答案に数行で描く。③y の符号が条件を満たす x の範囲を区間で書き、x=0 など検算値を1つ代入して一致を確認する。
f(x)=x²−2ax+3 (0≤x≤2) の最小値を、a の値にかかわらず「頂点だから x=a で最小」と答え、軸が区間の外にある場合の端点評価を書かない。
平方完成は機械的にできるが、定義域が固定で軸が動くという設定を図で捉えていない。問題文に文字があるから場合分けが必要、程度の浅い認識で止まっている。
What to do instead
平方完成した直後に軸 x=a と頂点の座標を明記し、数直線の上に区間 0≤x≤2 と軸を描く。「軸<0」「0≤軸≤2」「2<軸」の3通りに場合分けの番号を振り、各場合で最小を与える x と値を表にまとめる。境界 a=0, a=2 を含めるかどうかも答案に明記する。
0≤θ<2π で sin2θ=1/2 を解くとき、解を θ=π/12, 5π/12 の2個で止める。cos(θ−π/3)=1/2 でも θ−π/3 の動く範囲を考えず、解を取りこぼす。
t=2θ と置いたあとに t の範囲を書き換える手続きが抜けている。単位円を思い浮かべず、三角比の値から逆算した角を1周期分だけ拾って満足してしまう。
What to do instead
置き換えた直後に「t=2θ のとき 0≤t<4π」と範囲を答案に書く。単位円を描き、その範囲に入る角をすべて列挙してから（π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6）、最後に θ=t/2 で戻す。戻した各解が元の θ の範囲に入っているかを1つずつ確認する。
log₂(x−1)+log₂(x−3)=3 を解いて x=5 と x=−1 の両方を答えに残す。底が文字の log_a x でも a>0, a≠1 を確認しない。
対数法則で式をまとめる操作に注意が向き、真数条件を「最後に見るもの」と考えている。無縁解は両辺を二乗したときだけ生じると思い込んでいる。
What to do instead
答案の1行目に「x−1>0 かつ x−3>0 すなわち x>3」と条件を書く（底が文字なら a>0, a≠1 も併記）。変形後に得た x を必ず条件の不等式に代入し、満たさないものは「不適」と明記して捨てる。
log₂(x+y) を log₂x+log₂y と変形する。log₂x² と (log₂x)² を同じものとして扱う。
指数法則 a^{m+n}=a^m·a^n のイメージを対数に流用してしまい、公式の向き（積→和）とその逆を区別していない。括弧の意味も軽視している。
What to do instead
使う公式を毎回「log_a MN = log_a M + log_a N」の形で書き出し、右辺から左辺へは変形できるが左辺から右辺へはできないことを確認する。log₂8=3 と log₂2+log₂4=3 のような数値例を横に添えて向きを検算する。二乗は必ず (log₂x)² と括弧をつけて書く。
S_n = n²+2n から一般項を求めるとき、a_n = S_n − S_{n−1} = 2n+1 を n=1 にも適用し、a_1 = S_1 = 3 との一致を確かめないまま答える。
公式の適用範囲が n≥2 であることを覚えておらず、「n=1 でも成り立つはず」と無意識に拡張している。
What to do instead
答案を2行に分ける。「n≥2 のとき a_n = S_n − S_{n−1} = …」「n=1 のとき a_1 = S_1 = …」。最後に一般式へ n=1 を代入した値が a_1 と一致するか確認し、一致しなければ n=1 を別扱いにして場合分けで答える。
lim_{n→∞}(√(n+1)−√n) を「∞−∞ だから 0」と答える。lim_{x→2}(x²−4)/(x−2) で代入して 0/0 のまま止まる。
極限は「代入して値を出す」という手順が身についていて、不定形かどうかの判定を飛ばしている。有理化や因数分解という道具の出番を認識していない。
What to do instead
まず代入して 0/0、∞/∞、∞−∞、0×∞ のどれかを判定し、その判定結果を答案に書く。∞−∞ なら有理化するか最高次の項でくくる。0/0 なら因数分解して約分する。変形後に再び代入して有限値になることを確認してから答える。
∫(2x+1)³dx を (2x+1)⁴/4 + C と答える。∫e^{2x}dx を e^{2x}+C と書く。置換積分で dx と du の係数関係を落とす。
∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1) という形だけを見て、内側が一次式であることによる係数の補正を忘れている。
What to do instead
∫f(ax+b)dx = (1/a)F(ax+b)+C を公式として書き、a を必ず外に出す。答えを書いたらその式を微分して元の被積分関数に戻るかを検算する（e^{2x} を微分して 2e^{2x} になることを確認）。
|a+tb|² を t の二次式にしたあと、0≤t≤1 などの範囲があるのに頂点の t をそのまま答える。(a+b)⊥(a−b) の条件を、内積を計算せずに大きさの比較だけで判断する。
「大きさの2乗は t の二次関数だから平方完成」というパターン処理が先行し、問題文の条件を二次関数の定義域や内積の式に翻訳する作業が抜けてしまう。
What to do instead
平方完成したら、すぐ横に t の定義域を数直線で書き、軸がその区間に入るかで場合分けする。ベクトルの条件は必ず内積の式（a·b = |a||b|cosθ、a·b=0 ⇔ 垂直）に翻訳してから計算を始める。
コインを5回投げて表が3回出る確率を 5C3(1/2)³ とだけ書き、(1/2)² を掛け忘れる。「少なくとも1個」を余事象を使わずに場合分けで数えて漏らす。
反復試行の公式 nCr p^r q^{n−r} の q の部分を「失敗の分は省略してよい」と誤って覚えている。数え上げでも、漏れの確認手順を持っていない。
What to do instead
反復試行は「表3回×裏2回」と日本語で書いてから nCr p^r (1−p)^{n−r} に当てはめ、指数の和が n になることを確認する。「少なくとも」が出たらまず余事象 1−P(0) を検討し、直接数える場合は表などに全パターンを列挙してから数える。