指数関数・対数関数
この分野で問われること
指数法則の拡張（0乗・負の指数・有理数乗）、指数関数のグラフと大小比較、対数の定義と計算法則、底の変換、指数方程式・対数方程式、常用対数を使った桁数・小数首位の問題が問われる。底の大きさで単調性が変わる点が最大のポイントである。
指数の規則
a^m·a^n = a^{m+n}、(a^m)^n = a^{mn}、(ab)^n = a^n b^n、a^0 = 1、a^{-n} = 1/a^n、a^{m/n} = ⁿ√(a^m)。いずれも a>0、a≠1 が前提である。
対数の規則
log_a b は a^c = b を満たす c。真数条件 b>0、底の条件 a>0、a≠1 を答案の最初に書く。
- log_a MN = log_a M + log_a N、log_a(M/N) = log_a M - log_a N、log_a M^k = k log_a M。
- 底の変換：log_a b = log_c b / log_c a。
- 常用対数：N が n 桁 ⇔ n-1 ≤ log₁₀N < n。
単調性と置き換え
a>1 のとき a^x も log_a x も単調増加、0<a<1 のときは単調減少。したがって指数・対数不等式では、底が1より小さいと不等号の向きが反転する。t = 2^x と置くときは t>0 という条件を必ず添える。
例題
log₂(x-1)+log₂(x+2) = 2 を解く。真数条件は x-1>0 かつ x+2>0 より x>1。左辺をまとめると log₂(x-1)(x+2) = 2、すなわち (x-1)(x+2) = 4。展開して x²+x-6 = 0、(x+3)(x-2) = 0 より x = -3、2。x>1 を満たすのは x = 2 のみ。
失点しやすいところ
真数条件の確認を忘れて x = -3 を残す、底が1より小さい不等式で向きを反転し忘れる、置き換えた t の範囲を落とす、log の和を積にまとめたときの同値性の確認漏れ。