数列
この分野で問われること
等差数列・等比数列の一般項と和、Σ の公式、階差数列、漸化式（等差型・等比型・a_{n+1} = p a_n + q 型・分数型）、数学的帰納法が問われる。n の範囲と初項の扱いが得点を分ける。
基本の公式
- 等差：a_n = a₁+(n-1)d、S_n = n(a₁+a_n)/2 = n{2a₁+(n-1)d}/2。
- 等比：a_n = a₁ r^{n-1}、r≠1 のとき S_n = a₁(1-r^n)/(1-r)、r = 1 のとき S_n = n a₁。
- Σ：Σk = n(n+1)/2、Σk² = n(n+1)(2n+1)/6、Σk³ = {n(n+1)/2}²。
- 階差数列：b_n = a_{n+1}-a_n のとき、a_n = a₁ + Σ_{k=1}^{n-1} b_k（n≥2）。
漸化式の型
a_{n+1} = p a_n + q（p≠1）は α = pα+q を解いて α を求め、a_{n+1}-α = p(a_n-α) の形に変形する。すると {a_n-α} は公比 p の等比数列になる。a_{n+1} = p a_n +（n の式）は両辺を p^{n+1} で割るか、階差型に持ち込む。
例題
a₁ = 1、a_{n+1} = 2a_n+3 の一般項を求める。α = 2α+3 より α = -3。もとの式から辺々引くと a_{n+1}+3 = 2(a_n+3)。よって {a_n+3} は初項 a₁+3 = 4、公比 2 の等比数列で、a_n+3 = 4·2^{n-1} = 2^{n+1}。したがって a_n = 2^{n+1}-3。n=1 を代入すると 1 で初項に一致する。
失点しやすいところ
階差数列で n≥2 の断りと n=1 の検算を忘れる、等比の和で r=1 の場合分けを落とす、Σ の上限を n と n-1 で混同する、帰納法で仮定を使う瞬間を明記しない。