極限と微分
この分野で問われること
数列・関数の極限（はさみうち、無限等比級数）、微分係数の定義、各種の導関数、接線の方程式、増減表と極値、閉区間での最大最小が問われる。計算そのものより「何を求めるために微分するか」の判断が問われる。
極限の道具
- |r|<1 のとき r^n → 0。無限等比級数は |r|<1 のとき a/(1-r)。
- 分数式の極限は最高次数で割る。∞-∞ や 0/0 の形は有理化か因数分解で解消する。
- はさみうち：a_n ≤ b_n ≤ c_n で a_n、c_n が同じ値に収束すれば b_n も同じ値に収束する。
微分の公式
(x^n)' = n x^{n-1}、(sin x)' = cos x、(cos x)' = -sin x、(e^x)' = e^x、(log x)' = 1/x。積 (fg)' = f'g+fg'、合成関数 {f(g(x))}' = f'(g(x))g'(x)。微分係数の定義は f'(a) = lim_{h→0} {f(a+h)-f(a)}/h。
接線と増減
曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線は y - f(a) = f'(a)(x-a)。f'(x) の符号が + から - に変われば極大、- から + なら極小。閉区間の最大最小は極値と両端の値をすべて比較する。
例題
f(x) = x³-3x の極値を求める。f'(x) = 3x²-3 = 3(x-1)(x+1)。f'(x) = 0 となるのは x = ±1。x<-1 で f'>0、-1<x<1 で f'<0、x>1 で f'>0。よって x = -1 で極大値 f(-1) = -1+3 = 2、x = 1 で極小値 f(1) = 1-3 = -2。
失点しやすいところ
極値と最大最小を混同する、区間の端点の比較を忘れる、接点の x 座標を求めずに接線を書く、微分の定義式を係数込みで正しく書けない。