積分と面積・体積
この分野で問われること
不定積分・定積分の計算、置換積分と部分積分、偶関数・奇関数の対称性、曲線で囲まれた面積、回転体の体積が問われる。どの関数が上か、どの区間かの立式ができれば計算は軽い。逆に立式を誤ると全滅する。
基本
- ∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C（n≠-1）、∫(1/x)dx = log|x|+C。
- 定積分：∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)（F は f の原始関数）。
- 置換積分：u = g(x) と置くと dx = du/g'(x)。定積分では積分区間も u で置き換える。
- 部分積分：∫f'g dx = fg - ∫fg' dx。
- 対称性：偶関数なら ∫_{-a}^{a} f dx = 2∫_0^a f dx、奇関数なら 0。
面積と体積
2曲線 y = f(x)、y = g(x) の間の面積は ∫_a^b |f(x)-g(x)| dx。上下が入れ替わるなら交点で区間を分ける。α<β のとき ∫_α^β (x-α)(β-x)dx = (β-α)³/6。断面積 S(x) がわかれば体積は ∫_a^b S(x)dx、x 軸回転体は V = π∫_a^b {f(x)}²dx。
例題
y = x と y = x² で囲まれた部分の面積を求める。交点は x² = x より x = 0、1。0≤x≤1 では x ≥ x² なので、面積 = ∫_0^1 (x-x²)dx = [x²/2 - x³/3]_0^1 = 1/2 - 1/3 = 1/6。
失点しやすいところ
上下を確かめずに引く、交点で区間を分け忘れる、置換積分で dx の変換と積分区間の変更を落とす、回転体で内側の半径を引き忘れる、最後に π を掛け忘れる。