ベクトルと複素数平面
この分野で問われること
平面ベクトルでは成分表示、内積、平行・垂直条件、位置ベクトルと内分・外分、共線条件、ベクトル方程式。複素数平面では四則計算、共役複素数と絶対値、極形式、ド・モアブルの定理、回転と軌跡が問われる。
ベクトルの基本
a = (a₁, a₂)、b = (b₁, b₂) のとき、a·b = a₁b₁+a₂b₂ = |a||b|cosθ。また |a|² = a·a。a∥b ⇔ a₁b₂-a₂b₁ = 0、a⊥b ⇔ a·b = 0。内分点は (nb+ma)/(m+n)、外分点は (nb-ma)/(n-m)。
複素数の基本
i² = -1。z = a+bi の共役は z̄ = a-bi、|z| = √(a²+b²)、z z̄ = |z|²。割り算は分母の共役を掛けて実数化する。極形式 z = r(cosθ+i sinθ) では積の偏角は和、商の偏角は差になる。z に (cosθ+i sinθ) を掛けると原点を中心に θ 回転する。
例題
a = (1, 2)、b = (3, -1) のなす角 θ を求める。a·b = 1·3+2·(-1) = 1。|a| = √5、|b| = √10。よって cosθ = 1/(√5·√10) = 1/(5√2) = √2/10。
失点しやすいところ
大きさの2乗と内積を混同する、なす角の範囲 0≤θ≤π を忘れる、複素数の割り算で共役を掛け忘れる、回転の向き（反時計回りが正）を逆にする、軌跡で分母が0になる点の除外を忘れる。