確率・統計・整数の性質
この分野で問われること
場合の数（順列・組合せ）、確率の基本性質と余事象、独立試行と反復試行、条件付き確率、期待値、データの分析（分散・標準偏差・相関係数）、整数の性質（約数・倍数、互除法、不定方程式、合同式）が問われる。
確率とデータ
- 順列 nPr = n!/(n-r)!、組合せ nCr = nPr/r!。
- P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)、余事象 P(Ā) = 1-P(A)。
- 反復試行：nCr p^r (1-p)^{n-r}。
- 分散 V = (1/n)Σ(x_i-x̄)² = (1/n)Σx_i² - x̄²、標準偏差 s = √V。相関係数 r は -1≤r≤1 の値をとる。
整数の道具
- 互除法：a を b で割った余りを r とすると gcd(a, b) = gcd(b, r)。
- 不定方程式 ax+by = c は gcd(a, b) が c を割るとき解をもつ。1組見つけてから一般解を書く。
- 合同式：a≡b (mod m) ⇔ a-b が m の倍数。余りの世界で足し算・掛け算ができる。
例題
7x+11y = 1 の整数解を1組求める。11 = 7·1+4、7 = 4·1+3、4 = 3·1+1。これを逆にたどると 1 = 4-3 = 4-(7-4) = 2·4-7 = 2(11-7)-7 = 2·11-3·7。よって x = -3、y = 2 が1組の解である。
失点しやすいところ
「同様に確からしい」の確認をせずに場合の数を数える、区別する・しないを混同する、余事象で数え漏らす、分散の割る数を n-1 と混同する、整数解で1組だけ書いて一般解を出さない。