2つの袋から玉を取り出すゲームの確率

袋Aには赤玉3個と白玉2個、袋Bには赤玉2個と白玉4個が入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、2個の玉の色が同じなら1点、異なるなら0点を得るゲームをする。玉はどれも同じ大きさで、袋の中から無作為に取り出すものとする。Aさんは、このゲームで1点を得る確率を計算し、0点を得る確率と比べた。Bさんは、袋Bの白玉をいくつか赤玉に変えて、1点を得る確率と0点を得る確率が等しくなるようにしたいと考えた。ただし、袋Bの玉の総数は6個のまま変えず、赤玉と白玉の個数はともに1個以上にする。二人は、場合の数を整理して確率を比較することにした。Aさんは、赤玉どうしが出る場合と白玉どうしが出る場合は同時に起こらないので、それぞれの場合の確率を足せばよいと考えた。Bさんは、白玉を赤玉に変える個数を文字でおき、確率の式が1/2になる条件を調べることにした。袋Aの玉は変えないものとする。ゲームの得点は1回ごとに決まり、連続して行う場合は毎回袋の中を元の状態に戻すものとする。