Okayama Public High School Entrance Examination - Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

展開公式 (a+b)^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。同様に (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 で, 中央の項の符号だけが変わる。係数や分数を含む式でも同じ形に当てはめて展開できる。

和と差の積

(a+b)(a-b)=a^2-b^2。前後の項が同じで符号だけが異なるときに使え, 展開より速く計算できる。因数分解でも同じ形を逆向きに利用する。

平方根の有理化

分母に根号があるとき, 分母と分子に同じ根号を掛けて分母を整数にする。例: 1/√2=√2/2, √3/√5=√15/5。分母が和や差なら共役を掛ける。

2次方程式の解の公式

ax^2+bx+c=0 (a≠0) の解は x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。bが偶数のときは b=2b' として x=(-b'±√(b'^2-ac))/a を使うと計算が軽い。

不等式の性質

両辺に同じ数を足し引きしても不等号の向きは変わらない。負の数を掛けたり割ったりすると向きが逆になる。正の数では向きはそのまま。

連続する整数の表し方

連続する3つの整数は n, n+1, n+2 と表せる。連続する偶数は 2n, 2n+2, 奇数は 2n+1, 2n+3 と表すと, 文字式による証明が書きやすい。

変化の割合

(yの増加量)/(xの増加量) で求める。1次関数 y=ax+b では常に一定で a に等しい。y=ax^2 で x が p から q まで変化するときは a(p+q) になる。

1次関数の式の求め方

2点を通る直線は, まず傾きを (y2-y1)/(x2-x1) で求め, y=ax+b に1点を代入して b を決める。切片と傾きが与えられていれば直接式を書ける。

反比例のグラフの性質

y=a/x のグラフは双曲線で, x軸にもy軸にも交わらない。a>0 なら第1・第3象限, a<0 なら第2・第4象限にあり, 原点について点対称である。

放物線と直線の交点

y=ax^2 と y=mx+n の交点のx座標は ax^2=mx+n を解いて求める。得られたxをどちらかの式に代入してy座標を出す。交点が2つなら2次方程式の解も2つ。

変域の求め方

xの変域が与えられたとき, グラフの端点と頂点に注目してyの最大値・最小値を決める。y=ax^2 では x=0 を含むかどうかで最小値または最大値が変わる。

座標平面上の三角形の面積

底辺をx軸に平行な線分にとると高さが縦の差で求めやすい。斜めの辺しかない場合は, 大きな図形から余分な三角形を引くか, y軸で分割して計算する。

動点と関数

点が辺上を動く問題では, 点がどの辺にあるかで場合分けし, 各場合で長さをxの式で表す。式を立てたあと, その場合に合うxの範囲を必ず添える。

多角形の内角と外角

n角形の内角の和は (n-2)×180°。外角の和は辺の数によらず常に360°。正n角形なら1つの内角は (n-2)×180°/n で求められる。

三角形の合同条件

3組の辺がそれぞれ等しい, 2組の辺とその間の角が等しい, 1組の辺とその両端の角が等しい, のいずれかが成り立てば合同である。

三角形の相似条件

3組の辺の比が等しい, 2組の辺の比とその間の角が等しい, 2組の角がそれぞれ等しい, のいずれかで相似となる。角の条件が最も使いやすい。

相似比と面積比・体積比

相似な図形で相似比が a:b のとき, 面積比は a^2:b^2, 体積比は a^3:b^3 になる。長さの比を2乗・3乗する点を取り違えないこと。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角はすべて等しく, 中心角の半分に等しい。直径に対する円周角は90°になる。半円の弧に対する円周角も直角である。

接線と半径

円の接線は接点を通る半径に垂直である。円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しく, その点と中心を結ぶ線は2本の接線のなす角を二等分する。

三平方の定理

直角三角形で, 斜辺の2乗は他の2辺の2乗の和に等しい。a^2+b^2=c^2 で, cが斜辺。直角をはさむ2辺がわかれば斜辺, 斜辺と1辺がわかれば残りの辺が求まる。

特別な直角三角形の辺の比

直角二等辺三角形の辺の比は 1:1:√2。内角が30°,60°,90°の直角三角形の辺の比は 1:2:√3 で, 最も長い辺が斜辺の2にあたる。

証明の書き方

仮定と結論を分けて示し, それぞれの根拠となる定義・定理を明記して筋道を立てる。図から見た目で判断したことは根拠にできず, 結論を先に使うこともできない。

平均値・中央値・最頻値

平均値は合計を個数で割った値。中央値はデータを小さい順に並べた中央の値で, 偶数個なら中央2つの平均。最頻値は度数が最も大きい値である。

度数分布表からの平均値

各階級の階級値を求め, 階級値×度数の合計を度数の合計で割る。元のデータが不明でも, 階級値を使えば平均値を概算できる。

相対度数

その階級の度数を度数の合計で割った値。すべての階級の相対度数を足すと1になる。合計の異なる資料どうしを比べるときに用いる。

四分位数と箱ひげ図

データを4等分する3つの値が四分位数で, 第2四分位数は中央値に等しい。箱ひげ図は最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値を表す。

確率の基本

ある事象の起こる確率は, その事象の場合の数をすべての場合の数で割って求める。どの結果も同様に確からしいことが前提で, 0以上1以下の値になる。

余事象の確率

「少なくとも1つ」を求める問題では, 起こらない場合の確率を1から引く。例: 2個のさいころで少なくとも1つ1が出る確率は 1-25/36=11/36。

標本調査による推定

母集団から取り出した標本の比率が母集団でも同じとみなして, 比例式で全体の数量を推定する。標本の選び方に偏りがあると推定は信頼できない。

命題の逆と対偶

「PならばQ」の逆は「QならばP」, 対偶は「QでないならばPでない」。もとの命題が真なら対偶も必ず真だが, 逆が真とは限らない。

必要条件と十分条件

「PならばQ」が真のとき, PはQであるための十分条件, QはPであるための必要条件という。矢印の向きで判断すると間違えにくい。

文字式による証明の型

整数を n などで表し, 条件を式に翻訳して展開・整理する。最後に「(整数)×3」など整数の積の形に変形し, 結論と一致することを示す。