Okayama Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide

数と式：計算の根拠まで問う

岡山県公立高校入試の「数と式」では、正負の数・文字式・方程式・平方根の計算力を土台に、目的に合わせて式を変形する力が試される。答えだけでなく、どの法則を使って変形したかを説明できるようにしておきたい。 累乗は乗除より先。(-3)^2=9、-3^2=-9。 単項式の乗除では係数と文字を分け、a^m÷a^n=a^(m-n)。 等式変形は両辺に同じ操作。分数を消すときは最小公倍数をかける。 平方根は√(a^2)= a 。分母の有理化では分母の平方根を消す。 二次方程式は因数分解を先に検討し、難しければ解の公式。 連立方程式は代入法か加減法を選び、解を元の式に代入して検算する。 x=√5+2 のとき、x^2-4x+3 の値を求める。そのまま代入すると計算が重い。そこで x-2=√5 に着目し、与式を (x-2)^2-1 と変形する。代入すると (√5)^2-1=5-1=4。式の値は4。ポイントは「文字の関係を利用して次数を下げる」こと。 (-2)^2 と -2^2 の混同。 √(a^2)=a としてしまい、負の場合を落とす。 連立方程式の加減法で、一方の式だけに負号を掛ける。 分数式で、分子全体に分配法則を適用し忘れる。 和の形のまま約分する。約分は積の形でのみ行う。 解の公式で b^2-4ac の符号ミス。.

関数：グラフと変域で関係を読む

岡山県公立高校入試の「関数」では、比例・反比例、一次関数、関数 y=ax² の式・グラフ・変域・変化の割合を横断して問う。事象をグラフ化し、交点や変域を読み取る力が中心になる。 一次関数 y=ax+b では、a は変化の割合、b は切片。 反比例 y=a/x では xy=a が一定。グラフは双曲線で、a の符号で象限が決まる。 y=ax² で x が p から q まで増加するときの変化の割合は a(p+q)。 放物線の変域に 0 が含まれると、最小値は 0 になる。 2グラフの交点は、式を連立して x を求め、y も求める。 動点問題では、時間 t の定義域と場合分けを先に決める。 y=ax² について、x が -1 から 3 まで増加するときの変化の割合が 4 である。変化の割合は a(p+q) なので a(-1+3)=2a。これが 4 だから a=2。式は y=2x²。グラフでは x=-1 のとき y=2、x=3 のとき y=18 で、平均の増え方が 4 と確認できる。 変化の割合と傾きを混同する。放物線では一定でない。 変域に 0 を含むのに、端点だけで最大・最小を判断する。 反比例の比例定数の符号を取り違え、象限を誤る。 交点の x 座標だけ求めて y 座標を出し忘れる。 動点の定義域を書かず、場合分けの境界を落とす。. y=ax² の変化の割合は a(p+q).

図形と証明：条件を根拠に結び付ける

岡山県公立高校入試の「図形」では、合同・相似、円周角、三平方の定理、面積比が中心で、証明の記述が配点の要になる。図に印を付け、仮定・結論・使う定理を分けて書く。 合同条件は、3組の辺、2組の辺とその間の角、1組の辺とその両端の角。 相似条件は、3組の辺の比、2組の辺の比とその間の角、2組の角。 同じ弧に対する円周角は等しい。直径に対する円周角は 90°。 円に内接する四角形では、対角の和が 180°。 三平方の定理は斜辺の2乗＝他の2辺の2乗の和。 面積比は相似比の2乗、体積比は相似比の3乗。 AB=AC の二等辺三角形 ABC で、頂角 A の二等分線と BC の交点を D とする。△ABD と △ACD において、仮定より AB=AC、∠BAD=∠CAD、AD は共通。よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しく、△ABD≡△ACD。合同な図形の対応する辺は等しいので BD=CD。 対応する頂点の順序を崩し、合同条件の「間の角」を誤る。 証明で仮定を結論のように使い、根拠の定理を書かない。 円周角で、同じ弧かどうかを確認せずに等しいとする。 三平方の定理で斜辺の見極めを誤る。 面積比を相似比のまま扱う。 補助線を引いた理由を書かない。.

資料の活用：代表値と確率を根拠付きで

数学的な見方・考え方：説明の型を作る

岡山県公立高校入試では、内容領域とは別に、事象を数学的に捉え、根拠を示して説明する力が問われる。記述問題では、条件を文字・表・グラフ・図に翻訳し、結論までの筋道を書く。 見方としては、変わらない量、数量の関係、単位の統一、場合分けに着目する。 考え方としては、特殊な例から規則を予想し、文字で一般化する。命題を否定するときは反例を挙げる。 逆は常に成り立つとは限らない。逆の真偽を確認してから使う。 説明では「nを整数とすると」のように文字の意味を宣言し、式変形の各段に根拠を添える。 図形の説明では、合同条件や相似条件、使った定理を明記する。 連続する3つの整数の和は3の倍数であることを説明する。n を整数とし、3つの整数を n-1、n、n+1 と表す。和は (n-1)+n+(n+1)=3n。n は整数なので 3n は3の倍数。よって連続する3つの整数の和は3の倍数である。一つの例を示すだけでは証明にならず、文字で一般化することが要点。 1つの例だけを示して証明したつもりになる。 文字の定義を書かず、n の範囲も示さない。 計算だけを並べ、結論や根拠がない。 逆の真偽を確認せずに使う。 整数、自然数、以上、より大きいの読み落とし。 図形の説明で定理名を書かない。.