Okayama Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies
Okayama Public High School Entrance Examination - Mathematics · Put your knowledge to work in context.
The Okayama Public High School Entrance Examination in Mathematics (岡山県公立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics component of the prefectural entrance selection used by Okayama's public high schools. It is written for students completing compulsory education who are applying to a prefectural public high school, including those choosing general, academic-oriented, and specialised courses; each school sets its own selection structure within the prefectural framework, so a candidate should confirm the exact requirements for the school and course being applied for. The paper assesses the full junior high school mathematics curriculum, organised around number and calculation, functions and graphs, geometry and proof, data and probability, and the ability to think mathematically and express reasoning clearly. Expect a mix of short computational items, multiple-choice items, and constructed-response questions that require a written explanation or proof rather than a final value alone. Preparation should be cumulative: secure fluency in calculation and algebraic manipulation, then practise describing why a result holds in full sentences using correct mathematical vocabulary. Working through past papers under timed conditions, marking your own explanations against a model answer, and revisiting errors by topic is the most reliable routine. Topics on this exam: Number and Calculation (数と式), Functions and Graphs (関数), Geometry and Proof (図形), Data and Probability (資料の活用), and Mathematical Thinking and Expression (数学的な見方・考え方). The Okayama Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies are 5 cases and about 52 words.
1文化祭のノートとペンの買い方
文化祭の準備係になったAさんとBさんは、クラスで使うノートとペンを買うことになった。ノートは1冊180円、ペンは1本120円で、どちらも消費税はかからない。予算は5000円である。買う条件は次の3つをすべて満たすことである。(1)ノートは12冊以上買う。(2)ペンはノートより3本以上多く買う。(3)ノートとペンの合計は30品以内にする。ただし、ノートとペンはそれぞれ1冊、1本単位で買い、予算は使い切らなくてもよい。Aさんは「予算内でペンをできるだけ多く買いたい」と考え、まずノートを12冊にしたときの最大のペンの本数を計算した。Bさんは「ノートをできるだけ多く買いたい」と考え、条件を満たす最大のノートの冊数を調べた。Aさんは最初、ノート12冊、ペン18本の買い方を考えたが、ペンをさらに増やせるか迷った。Bさんはノートを13冊にしたとき、ペンを何本以上にすればよいかで迷った。二人は、条件を満たす買い方が1通りではないことに気づき、数量の関係を式に表して考えることにした。また、代金が5000円を超えないかも同時に確かめる必要がある。条件を満たす中で、代金が最も高くなる買い方があるかどうかも気になった。. ペンをp本とおく。条件(2)から p≥12+3=15。条件(3)から 12+p≤30 なので p≤18。予算は 180×12+120p≤5000、すなわち2160+120p≤5000。これを解くと120p≤2840、p≤23.66…。したがって、すべての条件を満たす最大のpは18本である。このとき代金は2160+120×18=2160+2160=4320円で、予算5000円以内である。. ノートをn冊、ペンをp本とおく。p≥n+3、n+p≤30、180n+120p≤5000である。p≥n+3とn+p≤30から n+(n+3)≤30、2n≤27、n≤13.5。nは整数なのでn≤13。予算について、pの最小値n+3を代入すると180n+120(n+3)=300n+360≤5000、300n≤4640、n≤15.46…であり、これを満たす最大のnは13。n=13のときpの最小値は16。合計は29品で30品以内、代金は180×13+120×16=2340+1920=4260円で予算内。よってノート最大13冊、そのときのペン最小16本。.
11 words, under 1 min22つの水そうの水量と一次関数
水そうAには最初10L、水そうBには最初34Lの水が入っている。Aには毎分4Lの割合で水を入れ、Bからは毎分2Lの割合で水を出す。同時に操作を始め、x分後のAの水量をy A L、Bの水量をy B Lとする。ただし、水そうの容量は十分大きく、Bの水がなくなるまで操作を続け、途中で操作を止めたり水を加えたりしない。毎分の変化は一定なので、y Aとy Bはともにxの一次関数で表される。Aさんはy A=10+4x、y B=34-2xと表し、2つの水量が等しくなる時刻を求めた。Bさんは「Aの水量がBの水量の2倍になる時刻」を求めようとしたが、式の立て方を迷った。また、操作を始めてからBの水がなくなるまでの時間も調べることにした。Aさんは、2つの水量が等しくなる時刻が操作の範囲内にあるかどうかも確認する必要があると考えた。グラフをかくと2本の直線の交点が何を意味するかも話し合った。Bの水量が0になると、それ以降は一定の割合で水を出す操作は続けられないものとする。二人は、求めた時刻や水量が実際の操作の条件に合うかを確かめることにした。. y Aとy Bをxの式で表し、2つの水量が等しくなる時刻とそのときの水量を求めなさい。. Aの水量がBの水量の2倍になる時刻を求めなさい。また、その時刻がBの水がなくなる前かどうかも説明しなさい。. Bの水がなくなるのは操作開始から何分後か。また、そのときAの水量は何Lか。.
22 words, under 1 min3平行線を含む二等辺三角形の証明
三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形で、∠BAC=40°である。辺BC上に点Dを、辺AB上に点Eをとり、直線DEが辺ACに平行になるようにする。ただし、DはBとCのどちらとも異なり、EはAとBのどちらとも異なる。Aさんは、この図形で△EBDが二等辺三角形になるのではないかと予想し、∠EBDと∠EDBの大きさを調べた。Bさんは、平行線の性質と二等辺三角形の底角が等しいことを使えば説明できると考えたが、どの角とどの角が対応するかを整理する必要があった。また、∠BEDの大きさを求め、予想が正しいことを確認することにした。Aさんは、Dの位置をいくつか変えて作図しても△EBDの形が同じ性質をもつように見えることに気づいた。三角形の内角の和は180°であり、平行線の同位角は等しいことを使ってよい。二人は、証明の中で使う角が同じ頂点の角かを確認しながら説明を組み立てることにした。点DをBに近づけても、DE∥ACという条件を保てば同じ議論が使えるかどうかも話し合った。. △EBDが二等辺三角形であることを証明しなさい。. AB=ACより△ABCは二等辺三角形で、底角は等しいから∠ABC=∠ACB。Eは辺AB上、Dは辺BC上なので∠EBD=∠ABC。またDE∥ACで、BCは直線なので、平行線の同位角より∠EDB=∠ACB。したがって∠EBD=∠EDB。2つの角が等しい三角形は二等辺三角形なので、△EBDはEB=EDの二等辺三角形である。. ∠BAC=40°、AB=ACより底角は(180-40)/2=70°。よって∠ABC=∠ACB=70°。前問より∠EBD=∠EDB=70°。三角形EBDの内角の和は180°なので∠BED=180-70-70=40°。.
5 words, under 1 min42つの袋から玉を取り出すゲームの確率
袋Aには赤玉3個と白玉2個、袋Bには赤玉2個と白玉4個が入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、2個の玉の色が同じなら1点、異なるなら0点を得るゲームをする。玉はどれも同じ大きさで、袋の中から無作為に取り出すものとする。Aさんは、このゲームで1点を得る確率を計算し、0点を得る確率と比べた。Bさんは、袋Bの白玉をいくつか赤玉に変えて、1点を得る確率と0点を得る確率が等しくなるようにしたいと考えた。ただし、袋Bの玉の総数は6個のまま変えず、赤玉と白玉の個数はともに1個以上にする。二人は、場合の数を整理して確率を比較することにした。Aさんは、赤玉どうしが出る場合と白玉どうしが出る場合は同時に起こらないので、それぞれの場合の確率を足せばよいと考えた。Bさんは、白玉を赤玉に変える個数を文字でおき、確率の式が1/2になる条件を調べることにした。袋Aの玉は変えないものとする。ゲームの得点は1回ごとに決まり、連続して行う場合は毎回袋の中を元の状態に戻すものとする。. 袋Bの白玉をいくつ赤玉に変えれば、1点を得る確率と0点を得る確率が等しくなるか。袋Bの玉の総数は6個のまま、赤玉と白玉はともに1個以上とする。. 1点は同じ色、つまり赤赤または白白。袋Aから赤、袋Bから赤の確率は3/5×2/6=6/30。袋Aから白、袋Bから白の確率は2/5×4/6=8/30。同時には起こらないので、1点の確率は6/30+8/30=14/30=7/15。0点は異なる色なので、余事象より1-7/15=8/15。直接計算しても、赤白は3/5×4/6=12/30、白赤は2/5×2/6=4/30、合計16/30=8/15で一致する。. 袋Bの赤玉をr個、白玉を6-r個とする（1≤r≤5）。1点の確率は、赤赤と白白より(3/5)(r/6)+(2/5)((6-r)/6)=(3r+12-2r)/30=(r+12)/30。これが1/2になればよいので(r+12)/30=1/2。両辺を60倍して2r+24=30、r=3。もとの袋Bは赤2個なので、白玉を1個赤玉に変えればよい。このとき赤3個、白3個で、1点と0点の確率はともに1/2になる。.
5 words, under 1 min5連続する3つの整数の性質の説明
中学生のAさんは、連続する3つの整数について調べている。中央の整数をnとすると、3つの整数はn-1, n, n+1と表せる。Aさんは、これらの積に中央の整数nを加えると、いつもnの3乗になるのではないかと予想した。例えば、2,3,4では2×3×4+3=27=3³となり、4,5,6では4×5×6+5=125=5³となる。Bさんは「負の整数や0を含む場合でも成り立つのか」と質問した。Aさんは、n=0やn=-2の場合も確かめ、さらに文字式を展開して説明しようとした。Aさんは最初、nが正の整数のときだけ成り立つ規則ではないかと考えたが、負の整数でも同じ形の式になることに気づいた。二人は、予想がすべての整数nで成り立つかどうかを、式の変形と言葉の説明を結びつけて考えることにした。計算では分配法則を使い、最後にnの3乗の形に戻せるかを確認する。また、Aさんは、n=1やn=-1のような小さい場合だけで判断せず、すべての整数をまとめて扱う必要があると考えた。Bさんは、文字式の変形が整数の正負に影響されない点に注目した。二人は、具体例と文字式の両方を使って説明を比べることにした。. n=0とn=-2の場合について、予想が成り立つか確かめなさい。. 中央の整数をnとして、予想がすべての整数nで成り立つことを文字式で証明しなさい。. Bさんの「負の整数や0でも成り立つのか」という疑問に、式の変形のどの部分が根拠になるか説明しなさい。.
9 words, under 1 minMore study resources for Okayama Public High School Entrance Examination - Mathematics
- Flashcards展開公式 (a+b)^2. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2。同様に (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 で, 中央の項の符号だけが変わる。係数や分数を含む式でも同じ形に当てはめて展開できる。.
- Cheat sheet展開公式: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2, (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab。.
- Key terms自然数 (natural number). A positive whole counting number such as 1, 2, 3, and so on, used for counting objects.
- Study planExpand and factorise algebraic expressions (単項式・多項式の計算、因数分解) accurately, including expressions with two variables, and write down each step of the working rather than skipping lines.
- Common mistakesThe bracket is treated as a container to be removed rather than as a quantity multiplied by −2; the candidate applies the distributive law mechanically to the first term and then reverts to left-to-right deletion of brackets, a habit carried over from primary-school arithmetic where a minus before a bracket rarely appeared.
- Exam-day guideMost public high schools in Okayama Prefecture require the 受験票 distributed through your middle school.