連続する3つの整数の性質の説明
中学生のAさんは、連続する3つの整数について調べている。中央の整数をnとすると、3つの整数はn-1, n, n+1と表せる。Aさんは、これらの積に中央の整数nを加えると、いつもnの3乗になるのではないかと予想した。例えば、2,3,4では2×3×4+3=27=3³となり、4,5,6では4×5×6+5=125=5³となる。Bさんは「負の整数や0を含む場合でも成り立つのか」と質問した。Aさんは、n=0やn=-2の場合も確かめ、さらに文字式を展開して説明しようとした。Aさんは最初、nが正の整数のときだけ成り立つ規則ではないかと考えたが、負の整数でも同じ形の式になることに気づいた。二人は、予想がすべての整数nで成り立つかどうかを、式の変形と言葉の説明を結びつけて考えることにした。計算では分配法則を使い、最後にnの3乗の形に戻せるかを確認する。また、Aさんは、n=1やn=-1のような小さい場合だけで判断せず、すべての整数をまとめて扱う必要があると考えた。Bさんは、文字式の変形が整数の正負に影響されない点に注目した。二人は、具体例と文字式の両方を使って説明を比べることにした。
1. n=0とn=-2の場合について、予想が成り立つか確かめなさい。
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n=0のとき、3つの整数は-1,0,1。積に中央の0を加えると(-1)×0×1+0=0。0³=0なので成り立つ。n=-2のとき、3つの整数は-3,-2,-1。積は(-3)×(-2)×(-1)=-6。これに中央の-2を加えると-6+(-2)=-8。(-2)³=-8なので成り立つ。
2. 中央の整数をnとして、予想がすべての整数nで成り立つことを文字式で証明しなさい。
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中央の整数をnとすると、3つの整数はn-1,n,n+1。積にnを加えた式は(n-1)n(n+1)+n。まず(n-1)(n+1)=n²-1なので、(n-1)n(n+1)=n(n²-1)=n³-n。したがって(n-1)n(n+1)+n=(n³-n)+n=n³。この変形は分配法則と同類項をまとめる操作だけで、nの正負や0であることに依存しない。よってすべての整数nで予想は成り立つ。
3. Bさんの「負の整数や0でも成り立つのか」という疑問に、式の変形のどの部分が根拠になるか説明しなさい。
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Bさんの疑問に対しては、式変形の(n-1)(n+1)=n²-1とn(n²-1)+n=n³-n+n=n³の部分が根拠になる。ここではnを正の整数に限定する条件を使っておらず、負の数や0でも分配法則や整数の加法・乗法は同じように成り立つ。具体例で確かめたn=0,-2も、この式変形の特別な場合とみられる。したがって、予想はすべての整数nで成り立つ。