Преносна грешка или грешка во суштината кај квадратна неравенка
На училишното пробно матурирање по математика, задачата од 6 поени гласи: „Реши ја неравенката x² − 5x + 6 < 0 и претстави го решението на бројна права.“ Рубриката: 2 поени за наоѓање корени (факторизација), 2 поени за анализа на знакот, 2 поени за точно решение и графички приказ. Правилникот предвидува „преносна грешка“: ако ученикот направи аритметички пропуст, а понатамошната постапка е логички конзистентна со тој пропуст, се одзема само 1 поен вкупно.
Четири решенија: Ана: (x−2)(x−3)<0, таблица на знаци, решение (2,3), правилно прикажано. Бојан: точно ги нашол корените, нацртал парабола, но интервалот го означил [2,3] со полни точки. Весна: погрешно факторизирала како (x−2)(x−4)<0, понатаму се е конзистентно и добива (2,4). Горан: без алгебра, само графикон на функцијата нацртан со калкулатор, го чита интервалот (2,3) и пишува „од графиконот“. Наставничката сака сите четири да добијат ист третман.
1. Додели поени на секое од четирите решенија и објасни зошто „преносната грешка“ не важи еднакво за сите.
Read the worked answer
- Ана - 6/6. Корените се точни, знакот е анализиран, интервалот е отворен и приказот е точен. Нема што да се одземе.
- Бојан - 5/6. Корени 2/2, анализа на знак 2/2, но конечниот запис [2,3] е грешен: неравенката е строга, па точките 2 и 3 не припаѓаат. Се одзема 1 поен од ставката „точно решение“, а не од анализата, бидејќи расудувањето е точно.
- Весна - 3/6. Овде е клучната одлука. „Преносна грешка“ е наменета за ситни аритметички пропусти (пример: 5+3=9) при кои постапката останува иста. Нејзината грешка е во факторизацијата - тоа е токму вештината што првата ставка ја мери, а не случаен пропуст. Затоа: 0/2 за корени, 2/2 за конзистентна анализа на знакот, 1/2 за решение (методски точно, но множеството е погрешно). Вкупно 3, без бонус од правилото за пренос.
- Горан - 4/6. Решението е математички точно и покажува разбирање на врската графикон–неравенка: 2/2 за анализа на знак, 2/2 за решение. Нема 2 поени за факторизација бидејќи таа постапка воопшто не е изведена.
Разликата меѓу Бојан и Весна е суштинска: кај Бојан грешката е во интерпретацијата на крајот, кај Весна - во основната алгебарска алатка.
2. Дали чисто графичкото решение на Горан треба да се признае како целосно? Што треба да содржи задачата за да се бара алгебарска постапка?
Read the worked answer
Графичкото решение е валиден математички метод и не смее автоматски да се третира како недоволно, бидејќи ученикот покажал дека ја разбира врската меѓу графиконот на функцијата и знакот на изразот. Проблемот не е во неговото знаење, туку во формулацијата на задачата.
Ако задачата навистина бара алгебарска постапка, тоа мора да биде напишано во самата задача - на пример: „Реши со факторизација и таблица на знаци“ или „без употреба на графички калкулатор“. Кога задачата само вели „реши“, ограничувањето на методот е скриен услов што ученикот не можел да го знае.
Затоа: 4/6 е фер за овој текст на задачата. Ако испитната комисија сака да ја мери факторизацијата, треба (а) да ја пропише постапката во задачата и (б) да го каже тоа во упатството пред испитот, за да не зависи оценката од тоа кој метод ученикот го избрал. Инаку оценуваме навика на наставник, а не математичка компетенција.
3. Предложи измена на рубриката што ќе ги отстрани споровите околу затворени/отворени интервали и употребата на калкулатор.
Read the worked answer
Рубриката треба да има три јасни точки на одлука, наместо една општа ставка „точно решение“.
- Посебен поен за границите на интервалот. Еден поен за отворени/затворени точки, одвоен од поенот за самите корени. Така Бојан губи точно 1 поен, а не зависи од тоа како прегледувачот го толкува „точно решение“.
- Изречен став за алатки. Рубриката треба да наведе: дозволен/недозволен графички калкулатор и дали мора да се прикаже алгебарска постапка. Без тоа, истите четири работи добиваат различни оценки кај различни наставници.
- Дефиниција на „преносна грешка“. Да се наведе дека важи само за аритметички пропуст во веќе поставена постапка, а не за грешка во изборот на метод или во факторизација. Ова е причината зошто Весна и Бојан не можат да се третираат исто.
Со ваква рубрика оценувањето станува повторливо: секој прегледувач доаѓа до ист број поени за истиот труд, што е и целта на секое стандардизирано оценување.