Inmunización de la reserva de siniestros con un bono largo
Una aseguradora de daños mantiene un portafolio de bonos cupón cero y bonos con cupón para respaldar una reserva de siniestros de 850 millones de pesos que deberá pagar en un único desembolso dentro de 4.5 años. La curva de rendimiento relevante es plana al 9.2% anual y el portafolio actual tiene un valor de mercado de 848 millones, duración Macaulay de 4.4 años y convexidad de 28. El director de inversiones propone vender todo y comprar un bono corporativo a 12 años con rendimiento al vencimiento de 10.0%, duración de 8.1 años y convexidad de 74, argumentando que “rinde 80 puntos base más y asegura el pago”. El comité pregunta si la propuesta cumple el objetivo de inmunización y si el mayor rendimiento compensa el riesgo. Se dispone además de dos bonos gubernamentales libres de riesgo de crédito: uno a 3 años con duración 2.7 y otro a 10 años con duración 7.9. No se permiten ventas en corto y se requiere que el valor presente de los activos cubra la reserva al momento de la compra.
1. Evalúe si el bono a 12 años es adecuado para inmunizar la reserva. Explique el efecto de la duración, la convexidad y el riesgo de reinversión, y determine si el argumento del rendimiento es suficiente.
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No es adecuado. La reserva es un pago único a 4.5 años; su duración es 4.5. El bono a 12 años tiene duración 8.1, un descalce de 3.6 años. Ante un alza paralela de 100 pb, el activo cae aproximadamente 8.1% y el valor presente de la reserva aumenta alrededor de 4.5%, de modo que el superávit cae cerca de 3.6% del valor de los activos: 0.036 × 850 ≈ 30.6 millones. Si las tasas bajan, el bono gana más, pero eso es una apuesta direccional, no inmunización.
El rendimiento adicional de 80 pb sobre el soberano es, en buena parte, prima por crédito y liquidez; no garantiza el pago y agrega riesgo de default. Además, los cupones intermedios se reinvierten a tasas inciertas; un bono largo no resuelve por sí solo el calendario de la reserva. Para inmunizar se requiere que el valor presente de los activos cubra la reserva y que duración y convexidad de los activos sean consistentes con el pasivo. El argumento del mayor rendimiento no basta.
2. Calcule las proporciones de los bonos a 3 y 10 años que igualan la duración de la reserva y explique por qué la inmunización requiere además que la convexidad de los activos sea al menos la de la reserva.
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Sea w la proporción en el bono a 3 años. La duración de la combinación debe ser 4.5:
w × 2.7 + (1 − w) × 7.9 = 4.5 2.7w + 7.9 − 7.9w = 4.5 −5.2w = −3.4 w = 0.6538
Por tanto, 65.4% en el bono a 3 años y 34.6% en el de 10 años. La convexidad de la combinación es el promedio ponderado: 0.6538 × C3 + 0.3462 × C10. Si, por ejemplo, C3 = 8 y C10 = 60, la convexidad combinada es 26.0, menor que 28. Con convexidad insuficiente, ante movimientos grandes de tasas el portafolio no replica bien al pasivo: la duración solo protege ante cambios pequeños y paralelos. Se requiere C_activos ≥ C_reserva y verificar que el valor presente de los activos sea al menos 850 millones. Si la convexidad no alcanza, debe ajustarse la mezcla, usar efectivo o construir un flujo de caja que cubra el pago único.
3. Si las tasas caen 150 puntos base inmediatamente después de comprar, ¿qué portafolio produce un resultado más cercano al requerido: el bono a 12 años o la combinación inmunizadora? Discuta el horizonte de 4.5 años y el riesgo de que la reserva sea cierta.
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Con duración modificada, el bono a 12 años gana aproximadamente 7.36 × 1.5% + 0.5 × 74 × (1.5%)² ≈ 11.9%, mientras que el pasivo aumenta cerca de 4.03 × 1.5% + 0.5 × 28 × (1.5%)² ≈ 6.4%. El superávit mejora, pero por una apuesta de duración, no por inmunización. La combinación con duración 4.5 cancela el efecto de primer orden; el efecto de segundo orden es 0.5 × (C_activos − 28) × (1.5%)² × 850. Si la convexidad combinada es 26, la pérdida es solo 0.19 millones; si es 30, la ganancia es 0.19 millones.
Sin embargo, a los 4.5 años el bono a 12 años aún tiene 7.5 años al vencimiento y deberá venderse a precio de mercado; si las tasas subieron después de la compra, el pago puede quedar descubierto. La combinación inmunizadora debe rebalancearse y verificar que los flujos disponibles cubran el pago. La conclusión es que el bono largo no asegura el pago; la combinación es más cercana al objetivo, siempre que se controle la convexidad y el calendario.