Probabilidad y estadística aplicadas al cálculo actuarial
Probabilidad y estadística aplicadas al cálculo actuarial
El examen evalúa si el sustentante modela frecuencia y severidad de siniestros, estima parámetros, valida el ajuste y traduce ese ajuste en primas y reservas. No basta recordar fórmulas: hay que elegir la familia distribucional adecuada, justificar el método de estimación y cuantificar el error de la aproximación.
Del modelo individual al modelo colectivo
- Pérdida agregada S = suma de N pérdidas; en el modelo colectivo N es independiente de las severidades X_i.
- E[S] = E[N]·E[X]; Var(S) = E[N]·Var(X) + Var(N)·(E[X])². Con N Poisson, Var(S) = λ·E[X²].
- Frecuencia: Poisson cuando varianza = media; binomial negativa cuando hay heterogeneidad (varianza mayor que la media).
- Severidad: gamma para colas moderadas; lognormal y Pareto para colas pesadas, típicas de daño catastrófico.
- Estimación por máxima verosimilitud; validación con chi-cuadrada, Kolmogorov-Smirnov y gráficos Q-Q.
- Credibilidad de Bühlmann: Z = n/(n+k); prima = Z·experiencia + (1−Z)·tarifa colectiva.
Ejemplo resuelto
Frecuencia Poisson con λ = 4 siniestros por año y severidad exponencial con media 30 (miles de pesos). E[S] = 4×30 = 120. Para la varianza se necesita E[X²] = 2×30² = 1,800, no 900: Var(S) = 4×1,800 = 7,200 y la desviación es 84.85. Con aproximación normal y corrección por continuidad: P(S > 200) ≈ P(Z > (200.5−120)/84.85) = P(Z > 0.949) ≈ 0.171.
Errores que cuestan puntos
- Usar Var(X) = 900 en lugar de E[X²] = 1,800, olvidando el cuadrado de la media.
- Omitir la corrección por continuidad al aproximar una variable discreta con la normal.
- Aplicar la normal a colas pesadas: subestima sistemáticamente el riesgo extremo.
- Confundir el parámetro λ con la media muestral cuando la exposición no es anual.