Triangulación de una torre de comunicaciones junto al polvorín
Durante una práctica de levantamiento topográfico en el Campo Militar, una escuadra debe ubicar una torre de comunicaciones que no es visible desde el punto de partida. El teniente fija dos estaciones, A y B, sobre una línea recta de 180 m en terreno horizontal, con la torre del mismo lado de la línea. Desde A, el ángulo entre la línea AB y la visual a la torre mide 58°; desde B, el ángulo entre BA y la visual a la torre mide 74°. El equipo cuenta con una cinta de 50 m y un teodolito con precisión de ±0,5°. Un cadete propone obtener la distancia horizontal de A a la torre con la ley de senos y, con ese dato, calcular la altura de la torre a partir de un ángulo de elevación de 31° medido desde A. El informe debe entregarse con dos cifras significativas e incluir una estimación del error propagado. Además, el jefe de seguridad pide saber si la torre queda dentro del radio de 200 m que debe mantenerse libre alrededor del polvorín, medido perpendicularmente desde la línea AB.
1. Calcula la distancia horizontal de A a la torre y la altura de la torre. Indica con cuántas cifras significativas debe reportarse cada resultado y por qué.
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1. Triángulo base. El tercer ángulo es T = 180° − 58° − 74° = 48°. Por ley de senos, AT/sen 74° = AB/sen 48°, de donde AT = 180 × 0,9613 / 0,7431 = 232,9 m.
2. Altura. El ángulo de elevación se mide desde A sobre la horizontal, así que h = AT · tan 31° = 232,9 × 0,6009 = 140,0 m.
3. Cifras significativas. El dato más débil no es la base de 180 m sino la resolución angular de ±0,5°. Al variar los tres ángulos en ese margen, AT se mueve entre ~230 y ~235 m y la altura entre ~136 y ~144 m, es decir ±4 m (≈3 %). Reportar 140,0 m sería falsa precisión: corresponde h = 1,4 × 10² m (140 m ± 4 m) y AT = 2,3 × 10² m. La regla aplicada es que el resultado hereda el error dominante de la medición, no solo el número de cifras del cálculo.
2. ¿La torre respeta el radio de 200 m libres alrededor del polvorín? Responde con el cálculo y explica el margen de confianza de tu conclusión.
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La distancia perpendicular a la línea AB es la altura del triángulo sobre esa base: d = AT · sen 58° = 232,9 × 0,8480 = 197,5 m, es decir 2,5 m por dentro del límite.
El problema es que ese margen es menor que la incertidumbre. Al propagar ±0,5° en los ángulos de la base, d oscila aproximadamente entre 194 m y 200 m; el intervalo cruza el valor límite. Por lo tanto no se puede certificar el cumplimiento: la estimación es compatible tanto con 195 m como con 200 m. La decisión correcta no es redondear a favor ni en contra, sino declarar el dato como no concluyente y volver a medir con una base más larga o con un instrumento de mayor precisión. Nótese además que la perpendicular es la distancia mínima a la línea AB; si la restricción real fuese radial respecto de un punto concreto del polvorín, habría que calcular esa distancia punto a punto.
3. Diseña una verificación independiente que use solo la cinta de 50 m y el teodolito, y explica por qué es preferible a repetir el mismo cálculo.
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Procedimiento: sobre la línea AB, encadenar la cinta de 50 m hasta el punto P donde la visual a la torre corta perpendicularmente la línea (o hasta el punto más cercano alcanzable), midiendo la distancia horizontal por tramos y cuidando la horizontalidad con el nivel del teodolito. Desde P, medir el ángulo de elevación α a la torre y calcular h = d(P,torre) · tan α, con d medida directamente con cinta en lugar de deducida por ley de senos.
Ventaja: cambia la fuente de error. En el método original la distancia se obtiene de dos ángulos pequeños, y un error de 0,5° se amplifica; aquí la distancia es una medición directa y solo queda un ángulo en el cálculo. Repetir la ley de senos con los mismos datos reproduce el mismo sesgo instrumental (sin colimación, mal centrado del teodolito) y no constituye verificación. Si el terreno no permite encadenar hasta la perpendicular, la alternativa es una segunda base de dirección distinta y comparar ambas soluciones.