Implantation d'un hangar sur un terrain triangulaire borné
Le service des infrastructures d'un aérodrome secondaire doit implanter un hangar de maintenance sur un terrain triangulaire ABC dont les limites sont déjà bornées. Le géomètre a relevé AB = 480 m, AC = 360 m et l'angle BAC = 120°. La piste occupe le côté [AB] ; le hangar doit être dessiné au plus près de cette piste, et la voie de service qui le desservira doit obligatoirement aboutir sur le segment [AB], jamais sur son prolongement, pour des raisons de servitude. Le prestataire de voirie facture au mètre linéaire, et la clôture périmétrique du terrain est facturée à l'hectare de surface close, arrondi au centième. Le maire demande au chef de projet de chiffrer trois choses : la longueur BC, la superficie en hectares, et le tracé le plus court possible de la voie de service. La réunion de validation est prévue le lendemain matin ; le chef de projet veut vérifier ses calculs avant de signer le bon de commande, car une erreur de quelques dizaines de mètres se voit immédiatement sur la facture.
1. Calculer la longueur BC et la superficie du terrain en hectares, arrondie au centième.
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Méthode : le triangle est déterminé par deux côtés et l'angle compris (120°) ; on applique la loi des cosinus (Al-Kashi). Pythagore serait faux, le triangle n'est pas rectangle.
- BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(BAC)
- BC² = 480² + 360² − 2×480×360×(−0,5)
- BC² = 230 400 + 129 600 + 172 800 = 532 800
- BC = √532 800 ≈ 729,93 m
Superficie : S = ½·AB·AC·sin(BAC) = 0,5×480×360×0,866025 ≈ 74 830,6 m², soit 7,48 ha.
Contrôle de vraisemblance : l'angle en A est obtus, donc BC doit être le plus long côté ; 729,9 m > 480 m, c'est cohérent. La formule ½·b·c·sin A évite de calculer une hauteur intermédiaire ou de passer par Héron. Noter que le cosinus d'un angle obtus est négatif : c'est le signe « moins » devant le produit qui devient un « plus » dans le calcul.
2. Déterminer l'angle ACB, puis la position exacte du pied de la perpendiculaire abaissée de C sur la droite (AB).
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Angle en C par la loi des sinus :
- sin(ACB)/AB = sin(BAC)/BC
- sin(ACB) = 480 × 0,866025 / 729,93 ≈ 0,5695 → ACB ≈ 34,7°
Contrôle : l'angle en B vaut 180 − 120 − 34,7 ≈ 25,3°, et BC est bien opposé au plus grand angle (120°).
Pied H de la perpendiculaire : on projette C sur la droite (AB) :
- AH = AC·cos(BAC) = 360 × (−0,5) = −180 m
- CH = AC·sin(BAC) = 360 × 0,866025 ≈ 311,8 m
Le signe négatif de AH n'est pas une erreur : il signifie que H tombe à 180 m de A, du côté opposé à B. Autrement dit, H n'appartient pas au segment [AB] mais à son prolongement. C'est le point de vigilance de tout le dossier : le point géométriquement le plus proche de la piste n'est pas un point utilisable de la piste.
3. Quelle est la longueur minimale de voie de service aboutissant sur la piste (segment [AB]) ? Justifier le choix du point de raccordement.
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La distance de C au segment [AB] est le minimum des distances de C aux points du segment, et non la distance à la droite (AB).
- Minimum sur la droite : atteint en H, 311,8 m - mais H est sur le prolongement, donc hors piste.
- Sur le segment [AB], la distance décroît de B vers H ; comme H est au-delà de A, le minimum sur [AB] est atteint au point A.
- Longueur : CA = 360 m.
Réponse : la voie de service la plus courte admissible mesure 360 m et se raccorde en A. À 85 €/m, elle coûte 30 600 €.
Jugement attendu : retenir 311,8 m serait l'erreur classique - on aurait calculé la distance à la droite au lieu de la distance au segment, et la voie aboutirait hors des limites de piste, donc non conforme à la servitude. Les 48 m d'écart ne se rattrapent pas par le calcul : il faudrait déplacer la limite ou obtenir une dérogation. Le chef de projet doit donc chiffrer 360 m, et signaler l'écart en réunion plutôt que de le corriger silencieusement.