Dimensionnement d'un treuil de chargement et essai de frein en rampe
À l'escale cargo d'un aéroport, un transitaire doit charger un conteneur de 850 kg à bord d'un avion-cargo. Le conteneur est tiré par un treuil électrique monophasé alimenté en 400 V, de facteur de puissance 0,85 et de rendement 0,72, le long d'une rampe inclinée à 12° sur l'horizontale et longue de 25 m. Le coefficient de frottement cinétique entre le conteneur et la rampe vaut 0,08. La montée se fait à vitesse constante de 0,6 m/s. Le moteur est protégé par un disjoncteur calibré à 10 A. Le chef d'escale, qui a une formation d'électricien, affirme que le disjoncteur tiendra largement. Il s'inquiète par ailleurs du frein : lors du dernier essai, le frein a lâché à mi-rampe. Il demande au technicien de vérifier, calculs en main, si l'installation est correctement dimensionnée et si le conteneur resterait immobile en cas de défaillance du frein. On prendra g = 9,81 m/s² et on négligera les frottements dans les poulies.
1. Calculer la force de traction nécessaire, la puissance électrique absorbée et le courant en ligne. Le disjoncteur de 10 A est-il adapté ?
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Bilan des forces le long de la rampe (montée à vitesse constante, donc somme des forces nulle) :
- Poids : P = mg = 850 × 9,81 = 8 338,5 N
- Composante parallèle : P·sin12° = 8 338,5 × 0,20791 ≈ 1 733,7 N
- Normale : N = P·cos12° = 8 338,5 × 0,97815 ≈ 8 156,3 N
- Frottement : f = 0,08 × 8 156,3 ≈ 652,5 N
- Traction : T = 1 733,7 + 652,5 ≈ 2 386 N
Puissances :
- Mécanique : P_méca = T·v = 2 386 × 0,6 ≈ 1 432 W
- Électrique : P_élec = 1 432 / 0,72 ≈ 1 988 W
- Courant : I = P_élec/(U·cos φ) = 1 988/(400 × 0,85) ≈ 5,85 A
Conclusion : 5,85 A < 10 A, le disjoncteur ne déclenchera pas en régime établi, mais la marge n'est que d'un facteur 1,7. Il faut vérifier le courant de démarrage du moteur (plusieurs fois l'intensité nominale) et la courbe du disjoncteur : un calibre 6 A serait trop juste. Réponse au chef d'escale : il a raison sur le régime permanent, tort de conclure sans examiner le démarrage.
2. Calculer le travail fourni par le treuil sur les 25 m, l'énergie dissipée par frottement et la durée de la montée. Ces valeurs sont-elles cohérentes avec la puissance trouvée ?
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Travaux sur 25 m :
- Treuil : W_T = T × L = 2 386,2 × 25 ≈ 59,7 kJ
- Frottement : W_f = f × L = 652,5 × 25 ≈ 16,3 kJ
- Pesanteur : W_P = P·sin12° × L = 1 733,7 × 25 ≈ 43,3 kJ
Vérification du bilan : 43,3 + 16,3 = 59,6 kJ ≈ 59,7 kJ (écart d'arrondi) : le travail du treuil sert exactement à vaincre la pesanteur et le frottement, l'énergie cinétique restant nulle à vitesse constante.
Durée : t = L/v = 25/0,6 ≈ 41,7 s.
Cohérence des puissances : P = W_T/t = 59 655/41,7 ≈ 1 431 W, valeur identique à T·v. Cela confirme que le calcul de puissance n'a pas été fait avec une vitesse moyenne erronée.
Lecture technique : le frottement représente 27 % du travail de traction ; une rampe plus courte mais plus inclinée augmenterait fortement cette part, car le frottement ne diminue pas linéairement avec l'angle.
3. Le frein lâche : le conteneur reste-t-il immobile ? Si non, calculer son accélération et sa vitesse après 25 m de descente.
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Condition de non-glissement (équilibre juste avant glissement) : tan θ ≤ μ.
- tan12° ≈ 0,2126, or μ = 0,08 → 0,2126 > 0,08, donc le conteneur glisse dès que le frein est relâché.
Accélération sur le plan incliné, sans traction :
- a = g(sin θ − μ cos θ) = 9,81 × (0,20791 − 0,08 × 0,97815)
- a = 9,81 × (0,20791 − 0,07825) = 9,81 × 0,12966 ≈ 1,27 m/s²
Vitesse après 25 m : v = √(2aL) = √(2 × 1,27 × 25) ≈ 7,97 m/s, soit environ 28,7 km/h, atteinte en 6,3 s.
Jugement : l'affirmation « le frottement le retiendra » est fausse - 0,08 est très inférieur à tan12°. Un conteneur lancé à près de 29 km/h sur une rampe de chargement est un danger mortel pour le personnel au pied de la rampe. La mesure correcte n'est pas électrique mais mécanique : cales, sangle ou frein à double circuit. Le technicien doit répondre au chef d'escale sur ce point avant de parler du disjoncteur.